Chapitre 3 • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
102
En notant P = Pass B 0 (B) =
1 0 1
0 1 0
−1 2 0
et T = P −1 AP, T est triangulaire supérieure ; on obtient P −1 =
0
2 −1
0
1
0
1 −2
1
et T =
−1
0 −1
0 −1 −1
0
0 −1
.
On peut montrer qu'on peut choisir B de façon que Mat B ( f ) soit de la forme :
−1
0
0
0 −1
•
0
0 −1
.
Exemple 3 :
Trigonaliser A =
2 0 1
1 1 0
−1 1 3
∈ M 3 (R) .
On obtient : χ A (λ) = (2 − λ) 3 .
Donc χ A est scindé sur R et A admet une seule vp, 2, qui est d'ordre 3.
X =
x
y
z
∈ SEP(A,2) ⇐⇒
z = 0
x − y = 0
−x + y + z = 0
⇐⇒
x = y
z = 0
.
Donc SEP(A,2) est de dimension 1 et admet pour base (V 1 ), où V 1 =
1
1
0
.
Cherchons V 2 ,V 3 pour que B = (V 1 ,V 2 ,V 3 ) soit une base de M 3,1 (R) et que Mat B ( f ) soit
triangulaire supérieure : Mat B ( f ) =
2 • •
0 2 •
0 0 2
.
Ceci revient à :
B est une base de M 3,1 (R)
f (V 2 ) − 2V 2 ∈ Vect (V 1 )
f (V 3 ) − 2V 3 ∈ Vect (V 1 ,V 2 ).
En notant V 2 =
x
y
z
:
f (V 2 ) − 2V 2 ∈ Vect(V 1 ) ⇐⇒
z
x − y
−x + y + z
∈ Vect
1
1
0
⇐⇒ x − y = z.
Choisissons, par exemple, V 2 =
1
0
1
.
Ensuite, n'importe quel V 3 (tel que (V 1 ,V 2 ,V 3 ) soit libre) convient, par exemple
V 3 =
1
0
0
.
Notons P = Pass B 0 (B) =
1 1 1
1 0 0
0 1 0
.
Alors P −1 =
0
1
0
0
0
1
1 −1 −1
, et T = P −1 AP =
2 1
1
0 2 −1
0 0
2
est triangulaire
supérieure.
On peut vérifier que :
A = PT P −1 .
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Géométrie
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Gé
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Après calculs.
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On cherche V 2 par ses coordonnées
dans la base canonique B 0 de
M 3,1 (R).
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On peut vérifier que :
A = PT P −1 .
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102
En notant P = Pass B 0 (B) =
1 0 1
0 1 0
−1 2 0
et T = P −1 AP, T est triangulaire supérieure ; on obtient P −1 =
0
2 −1
0
1
0
1 −2
1
et T =
−1
0 −1
0 −1 −1
0
0 −1
.
On peut montrer qu'on peut choisir B de façon que Mat B ( f ) soit de la forme :
−1
0
0
0 −1
•
0
0 −1
.
Exemple 3 :
Trigonaliser A =
2 0 1
1 1 0
−1 1 3
∈ M 3 (R) .
On obtient : χ A (λ) = (2 − λ) 3 .
Donc χ A est scindé sur R et A admet une seule vp, 2, qui est d'ordre 3.
X =
x
y
z
∈ SEP(A,2) ⇐⇒
z = 0
x − y = 0
−x + y + z = 0
⇐⇒
x = y
z = 0
.
Donc SEP(A,2) est de dimension 1 et admet pour base (V 1 ), où V 1 =
1
1
0
.
Cherchons V 2 ,V 3 pour que B = (V 1 ,V 2 ,V 3 ) soit une base de M 3,1 (R) et que Mat B ( f ) soit
triangulaire supérieure : Mat B ( f ) =
2 • •
0 2 •
0 0 2
.
Ceci revient à :
B est une base de M 3,1 (R)
f (V 2 ) − 2V 2 ∈ Vect (V 1 )
f (V 3 ) − 2V 3 ∈ Vect (V 1 ,V 2 ).
En notant V 2 =
x
y
z
:
f (V 2 ) − 2V 2 ∈ Vect(V 1 ) ⇐⇒
z
x − y
−x + y + z
∈ Vect
1
1
0
⇐⇒ x − y = z.
Choisissons, par exemple, V 2 =
1
0
1
.
Ensuite, n'importe quel V 3 (tel que (V 1 ,V 2 ,V 3 ) soit libre) convient, par exemple
V 3 =
1
0
0
.
Notons P = Pass B 0 (B) =
1 1 1
1 0 0
0 1 0
.
Alors P −1 =
0
1
0
0
0
1
1 −1 −1
, et T = P −1 AP =
2 1
1
0 2 −1
0 0
2
est triangulaire
supérieure.
On peut vérifier que :
A = PT P −1 .
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dans la base canonique B 0 de
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