3.3 • Diagonalisabilité
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
3.3.11 Soient a ∈ K , n ∈ N ∗ , f l'endomorphisme de
K n [X] défini par : ∀P ∈ K n [X],
f (P) = (X − a)(P − P (a)) − 2(P − P(a)).
Déterminer valeurs propres, vecteurs propres, noyau,
image de f ; f est-il diagonalisable ?
3.3.12 Soient n ∈ N − {0,1} , H ∈ M n (K ) telle que
rg(H ) = 1.
a) Montrer que H est diagonalisable si et seulement si :
tr(H ) = 0.
b) Établir :
α) Si H est diagonalisable, alors
H ∼
0
0
❜
0
0
tr(H )
β) Si H n'est pas diagonalisable, alors
H ∼
0
0
❜
0
0 1
0
.
(On pourra utiliser la relation H 2 = tr(H )H , cf. Algèbre
PCSI-PTSI, ex. 8.1.30 b)).
c) En déduire que, pour toutes matrices H 1 ,H 2 de M n (K )
de rang 1, on a :
H 1 ∼ H 2 ⇐⇒ tr(H 1 ) = tr(H 2 ).
3.3.13 Soient n ∈ N*,
A,B ∈ M n (K ),
ϕ : M n (K ) −→ M n (K )
M −→ tr(AM)B
.
CNS sur (A,B) pour que ϕ soit diagonalisable ? (Utiliser
l'exercice 3.3.12 a)).
3.3.14 Soient n ∈ N − {0,1}, (a 0 ,. . . ,a n−1 ) ∈ K n ,
A =
0
1
0
❜ ❜
0 0
1
a 0 . . . a n−2 a n−1
∈ M n (K )
(cf. exercice 3.2.11 p. 85).
Démontrer que A est diagonalisable si et seulement si le
polynôme P = X
n −
n−1
k=0
a k X
k est scindé sur K et à zéros
tous simples.
3.3.15 Soient n ∈ N − {0,1}, A,B ∈ M n (K ).
Démontrer :
A ∼ B ⇒ com(A) ∼ com(B) .
(Utiliser l’ex. 2.9.1.
Pour le cas rg(A) = rg(B) = 1, utiliser les exercices 3.2.3
p. 85 et 3.3.12 c)).
3.3.16 Établir que tout endomorphisme nilpotent et diagonalisable est nul.
3.3.17 Déterminer l'ensemble des (a,b) ∈ R
2 tels qu'il
existe (A,B) ∈
M 2 (R)
2 tel que :
AB =
3 1
2 −1
et B A =
1 a
−3 b
.
3.3.18 Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ M n (K ) telles que AB soit
diagonalisable.
a) Montrer que, si A ou B est inversible, alors B A est diagonalisable.
b) Le résultat précédent est-il valable sans l'hypothèse d'inversibilité ?
3.3.19 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (R).
Montrer qu'on peut décomposer A en la somme de deux
matrices diagonalisables.
3.3.20 Soient n ∈ N ∗ , M ∈ M n (K ) diagonalisable,
A ∈ M n (K ), k ∈ N ∗ . Montrer :
M k A = 0 ⇐⇒ M A = 0 .
3.3.21 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (K ) diagonalisable,
λ 1 ,. . . ,λ p les valeurs propres (deux à deux distinctes)
de A, ω k l'ordre de multiplicité de λ k (1 k p) ,
P ∈ GL n (K ) une matrice inversible telle que :
A = P
λ 1 I ω 1
0
. . .
0
λ p I ω p
P
−1 .
a) Déterminer le commutant C(A) de A, c'est-à-dire
C(A) = {B ∈ M n (K ); AB = B A}.
b) Vérifier que C(A) est un K-ev, et calculer sa dimension.
Si n = 5, peut-on avoir dim(C(A)) = 10 ?
c) Montrer : dim(C(A)) = n ⇐⇒ p = n .
3.3.22 Soit n ∈ N ∗ ; pour A ∈ M n (K ),
on note C A = {M ∈ M n (K ); M ∼ A et AM = M A} .
a) Soient A,B ∈ M n (K ) telles que A ∼ B. Montrer qu'il
existe une bijection de C A dans C B .
b) En déduire que, si A ∈ M n (K ) admet n vp deux à deux
distinctes, alors C A est fini et Card(C A ) = n!.
3.3.23 Soient ( p,q) ∈ (N ∗ ) 2 ,
n = p + q , A ∈ M p (K ), B ∈ M q (K ), C ∈ M p,q (K ),
M =
A C
0 B
∈ M n (K ) .
On suppose A et B diagonalisables et
Sp K (A) ∩ Sp K (B) = ∅.
Démontrer que M est semblable à
A 0
0 B
et est diagonalisable.
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
3.3.11 Soient a ∈ K , n ∈ N ∗ , f l'endomorphisme de
K n [X] défini par : ∀P ∈ K n [X],
f (P) = (X − a)(P − P (a)) − 2(P − P(a)).
Déterminer valeurs propres, vecteurs propres, noyau,
image de f ; f est-il diagonalisable ?
3.3.12 Soient n ∈ N − {0,1} , H ∈ M n (K ) telle que
rg(H ) = 1.
a) Montrer que H est diagonalisable si et seulement si :
tr(H ) = 0.
b) Établir :
α) Si H est diagonalisable, alors
H ∼
0
0
❜
0
0
tr(H )
β) Si H n'est pas diagonalisable, alors
H ∼
0
0
❜
0
0 1
0
.
(On pourra utiliser la relation H 2 = tr(H )H , cf. Algèbre
PCSI-PTSI, ex. 8.1.30 b)).
c) En déduire que, pour toutes matrices H 1 ,H 2 de M n (K )
de rang 1, on a :
H 1 ∼ H 2 ⇐⇒ tr(H 1 ) = tr(H 2 ).
3.3.13 Soient n ∈ N*,
A,B ∈ M n (K ),
ϕ : M n (K ) −→ M n (K )
M −→ tr(AM)B
.
CNS sur (A,B) pour que ϕ soit diagonalisable ? (Utiliser
l'exercice 3.3.12 a)).
3.3.14 Soient n ∈ N − {0,1}, (a 0 ,. . . ,a n−1 ) ∈ K n ,
A =
0
1
0
❜ ❜
0 0
1
a 0 . . . a n−2 a n−1
∈ M n (K )
(cf. exercice 3.2.11 p. 85).
Démontrer que A est diagonalisable si et seulement si le
polynôme P = X
n −
n−1
k=0
a k X
k est scindé sur K et à zéros
tous simples.
3.3.15 Soient n ∈ N − {0,1}, A,B ∈ M n (K ).
Démontrer :
A ∼ B ⇒ com(A) ∼ com(B) .
(Utiliser l’ex. 2.9.1.
Pour le cas rg(A) = rg(B) = 1, utiliser les exercices 3.2.3
p. 85 et 3.3.12 c)).
3.3.16 Établir que tout endomorphisme nilpotent et diagonalisable est nul.
3.3.17 Déterminer l'ensemble des (a,b) ∈ R
2 tels qu'il
existe (A,B) ∈
M 2 (R)
2 tel que :
AB =
3 1
2 −1
et B A =
1 a
−3 b
.
3.3.18 Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ M n (K ) telles que AB soit
diagonalisable.
a) Montrer que, si A ou B est inversible, alors B A est diagonalisable.
b) Le résultat précédent est-il valable sans l'hypothèse d'inversibilité ?
3.3.19 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (R).
Montrer qu'on peut décomposer A en la somme de deux
matrices diagonalisables.
3.3.20 Soient n ∈ N ∗ , M ∈ M n (K ) diagonalisable,
A ∈ M n (K ), k ∈ N ∗ . Montrer :
M k A = 0 ⇐⇒ M A = 0 .
3.3.21 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (K ) diagonalisable,
λ 1 ,. . . ,λ p les valeurs propres (deux à deux distinctes)
de A, ω k l'ordre de multiplicité de λ k (1 k p) ,
P ∈ GL n (K ) une matrice inversible telle que :
A = P
λ 1 I ω 1
0
. . .
0
λ p I ω p
P
−1 .
a) Déterminer le commutant C(A) de A, c'est-à-dire
C(A) = {B ∈ M n (K ); AB = B A}.
b) Vérifier que C(A) est un K-ev, et calculer sa dimension.
Si n = 5, peut-on avoir dim(C(A)) = 10 ?
c) Montrer : dim(C(A)) = n ⇐⇒ p = n .
3.3.22 Soit n ∈ N ∗ ; pour A ∈ M n (K ),
on note C A = {M ∈ M n (K ); M ∼ A et AM = M A} .
a) Soient A,B ∈ M n (K ) telles que A ∼ B. Montrer qu'il
existe une bijection de C A dans C B .
b) En déduire que, si A ∈ M n (K ) admet n vp deux à deux
distinctes, alors C A est fini et Card(C A ) = n!.
3.3.23 Soient ( p,q) ∈ (N ∗ ) 2 ,
n = p + q , A ∈ M p (K ), B ∈ M q (K ), C ∈ M p,q (K ),
M =
A C
0 B
∈ M n (K ) .
On suppose A et B diagonalisables et
Sp K (A) ∩ Sp K (B) = ∅.
Démontrer que M est semblable à
A 0
0 B
et est diagonalisable.