Chapitre 3 • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
96
3.3.1 Montrer que les matrices suivantes sont diagonalisables et les diagonaliser :
a)
0 1 0
1 0 1
0 1 0
∈ M 3 (R)
b)
11 −5
5
−5
3 −3
5 −3
3
∈ M 3 (R)
c)
−1 a a 2
0 0 −a
0 0
1
∈ M 3 (R) , a ∈ R
d)
0
−1
1
−a − 1 a
a+ 1
−a
a
a+ 1
∈ M 3 (R) , a ∈ R.
3.3.2 Soient (a,b,c,d) ∈ R 4 ,
A =
a −b −c −d
b
a −d
c
c
d
a −b
d −c
b
a
∈ M 4 (R).
a) Montrer : A t A = (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 )I 4 .
b) En déduire :
∀λ ∈ R, χ A (λ) =
(a − λ) 2 + b 2 + c 2 + d 2
2
.
c) Dans C , déterminer les valeurs propres et les sousespaces propres de A et montrer que A est diagonalisable
dans M 4 (C).
3.3.3 Soient n ∈ N − {0,1}, (a,b) ∈ C 2 ,
a) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de A.
b) CNS sur (n,a,b) pour que A soit diagonalisable.
3.3.4 Soient n ∈ N − {0,1,2},
α,a 2 ,. . . ,a n ,b 2 ,. . . b n ∈ C , A =
α b 2 . . . b n
a 2
. . .
0
a n
.
CNS pour que A soit diagonalisable ?
3.3.5 Montrer que les matrices suivantes sont diagonalisables et les diagonaliser :
a)
1
0
. . .
0
n
1
0
. . .
0
n
1
0
. . .
0
n
1
0
. . .
0
n
∈ M 2n (R) , n ∈ N ∗
b)
a ❜
a
0
0
b
✧
b
0
0 a + b 0
0
b
✧
b
0
0
a ❜
a
∈ M 2n+1 (C)
(a,b) ∈ C 2 , n ∈ N ∗ .
3.3.6 Soient n ∈ N, tel que n 3 , et α, p,q ∈ R tels que
p 2 − 4q > 0. On note :
Montrer que A est diagonalisable et déterminer ses valeurs
propres et vecteurs propres (on pourra considérer l'endomorphisme de R n−1 [X] dont la matrice, dans la base
canonique, est A).
3.3.7 Soient n ∈ N − {0,1}, (a,b,c) ∈ C 3 ,
a) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres
de A.
b) CNS pour que A soit diagonalisable.
c) On note U n le n `
eme polynôme de Tchebychev de 2 ème
espèce (cf. Analyse PCSI-PTSI, 3.5.1), défini par :
∀t ∈] − 1; 1[ , U n (t) =
sin((n + 1)Arccos t)
sin(Arccos t)
.
Lorsque bc = 0, exprimer χ A en fonction de U n .
3.3.8 Trouver toutes les matrices B de M 3 (R) telles que
B 2 = A et tr(B) = 0, où A =
2
3
1
−1 −2 −1
1
3
2
.
3.3.9 Les matrices
A =
0 1 1
1 0 0
2 1 0
et B =
0 1 0
1 0 1
1 2 0
de M 3 (R) sont-elles semblables ?
3.3.10 Les matrices
A =
1 2 3
3 1 2
2 3 1
et B =
1 3 2
2 1 3
3 2 1
de M 3 (R) sont-elles semblables ?
Exercices
A =
0
a
a
b
a
b
a
b
b
0
∈ M n (C).
A =
α
−q
n − 1 α − p
−2q
0
n − 2 α − 2 p
−(n − 1)q
0
1 α − (n − 1) p
∈ M n (R).
A =
a b
0
c
b
0 c a
∈ M n (C).
96
3.3.1 Montrer que les matrices suivantes sont diagonalisables et les diagonaliser :
a)
0 1 0
1 0 1
0 1 0
∈ M 3 (R)
b)
11 −5
5
−5
3 −3
5 −3
3
∈ M 3 (R)
c)
−1 a a 2
0 0 −a
0 0
1
∈ M 3 (R) , a ∈ R
d)
0
−1
1
−a − 1 a
a+ 1
−a
a
a+ 1
∈ M 3 (R) , a ∈ R.
3.3.2 Soient (a,b,c,d) ∈ R 4 ,
A =
a −b −c −d
b
a −d
c
c
d
a −b
d −c
b
a
∈ M 4 (R).
a) Montrer : A t A = (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 )I 4 .
b) En déduire :
∀λ ∈ R, χ A (λ) =
(a − λ) 2 + b 2 + c 2 + d 2
2
.
c) Dans C , déterminer les valeurs propres et les sousespaces propres de A et montrer que A est diagonalisable
dans M 4 (C).
3.3.3 Soient n ∈ N − {0,1}, (a,b) ∈ C 2 ,
a) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de A.
b) CNS sur (n,a,b) pour que A soit diagonalisable.
3.3.4 Soient n ∈ N − {0,1,2},
α,a 2 ,. . . ,a n ,b 2 ,. . . b n ∈ C , A =
α b 2 . . . b n
a 2
. . .
0
a n
.
CNS pour que A soit diagonalisable ?
3.3.5 Montrer que les matrices suivantes sont diagonalisables et les diagonaliser :
a)
1
0
. . .
0
n
1
0
. . .
0
n
1
0
. . .
0
n
1
0
. . .
0
n
∈ M 2n (R) , n ∈ N ∗
b)
a ❜
a
0
0
b
✧
b
0
0 a + b 0
0
b
✧
b
0
0
a ❜
a
∈ M 2n+1 (C)
(a,b) ∈ C 2 , n ∈ N ∗ .
3.3.6 Soient n ∈ N, tel que n 3 , et α, p,q ∈ R tels que
p 2 − 4q > 0. On note :
Montrer que A est diagonalisable et déterminer ses valeurs
propres et vecteurs propres (on pourra considérer l'endomorphisme de R n−1 [X] dont la matrice, dans la base
canonique, est A).
3.3.7 Soient n ∈ N − {0,1}, (a,b,c) ∈ C 3 ,
a) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres
de A.
b) CNS pour que A soit diagonalisable.
c) On note U n le n `
eme polynôme de Tchebychev de 2 ème
espèce (cf. Analyse PCSI-PTSI, 3.5.1), défini par :
∀t ∈] − 1; 1[ , U n (t) =
sin((n + 1)Arccos t)
sin(Arccos t)
.
Lorsque bc = 0, exprimer χ A en fonction de U n .
3.3.8 Trouver toutes les matrices B de M 3 (R) telles que
B 2 = A et tr(B) = 0, où A =
2
3
1
−1 −2 −1
1
3
2
.
3.3.9 Les matrices
A =
0 1 1
1 0 0
2 1 0
et B =
0 1 0
1 0 1
1 2 0
de M 3 (R) sont-elles semblables ?
3.3.10 Les matrices
A =
1 2 3
3 1 2
2 3 1
et B =
1 3 2
2 1 3
3 2 1
de M 3 (R) sont-elles semblables ?
Exercices
A =
0
a
a
b
a
b
a
b
b
0
∈ M n (C).
A =
α
−q
n − 1 α − p
−2q
0
n − 2 α − 2 p
−(n − 1)q
0
1 α − (n − 1) p
∈ M n (R).
A =
a b
0
c
b
0 c a
∈ M n (C).