3.3 • Diagonalisabilité
95
Les méthodes à retenir
Diagonalisabilité
• Pour montrer qu'une matrice carrée A est diagonalisable et la diagonaliser, dans un exemple numérique
comportant éventuellement des paramètres (ex. 3.3.1, 3.3.2, 3.3.5), on peut essayer de former le polynôme
caractéristique χ A , en déduire les valeurs propres de A, et, pour chaque valeur propre de A, déterminer une base
de SEP(A,λ) ; on aura alors A = P D P −1 où D est la matrice diagonale des valeurs propres de A, dans un ordre
arbitraire, et P est la matrice obtenue en met-tant côte-à-côte les vecteurs d'une base de vecteurs propres de A associés, dans l'ordre, aux valeurs propres. Lors du calcul de χ A , essayer de factoriser « au maximum ».
Nous verrons plus loin (§ 4.5.1 p. 164) que toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormale pour le produit scalaire canonique.
• Pour étudier la diagonalisabilité d'une matrice carrée A comportant éventuellement des paramètres
(ex. 3.3.3, 3.3.4) et lorsque les valeurs propres et les vecteurs propres sont calculables, on pourra essayer d'appliquer la CNS de diagonalisabilité (p. 88).
Voir aussi plus loin la rubrique « Les méthodes à retenir » sur les polynômes d’endomorphismes p. 114.
• Pour déterminer valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice carrée A ∈ M n (K ), dans certains cas, il
peut être préférable de résoudre le système
AX = λX
X = 0
, d'inconnue (λ,X) ∈ K × M n,1 (K ) (ex. 3.3.7).
• Pour résoudre une équation matricielle du type B
2
= A, où A est donnée et B inconnue (ex. 3.3.8), on peut
essayer d'utiliser, si c'est possible, une diagonalisation de A, pour se ramener à une équation C
2
= D, où D est
diagonalisable connue et C inconnue (pas nécessairement diagonale).
• Pour décider si deux matrices A,B ∈ M n (K ) sont semblables ou ne le sont pas (ex. 3.3.9, 3.3.10), calculer
d'abord, si c'est possible, leurs traces, leurs polynômes caractéristiques. D'après le Cours, si A ∼ B, alors
tr(A) = tr(B), rg(A) = rg(B), det(A) = det(B) et χ A = χ B . Ainsi, par contraposition, si tr(A) = tr(B) ou
rg(A) = rg(B) ou det(A) = det(B) ou χ A = χ B , alors A et B ne sont pas semblables.
Si χ A = χ B , on peut espérer que A et B soient semblables et on essaiera de trouver une matrice inversible P, particulièrement simple et suggérée par les expressions de A et B, telle que P A = B P.
• Pour effectuer l'étude simultanée des valeurs propres et des vecteurs propres d'une matrice-compagnon A
(ex. 3.3.14), partir du système
AX = λX
X = 0
.
• Pour étudier le du commutant C(A) d'une matrice A ∈ M n (K ), défini par :
C(A) = {B ∈ M n (K ); AB = B A} ,
lorsque A est diagonale, ou plus généralement diagonalisable (ex. 3.3.21), essayer de se ramener à des calculs sur
des matrices décomposées en blocs.
• La recherche des sev stables par un endomorphisme est une étude fréquente (ex. 3.3.24 ; cf. aussi plus loin ex.
3.4.5). Déjà, les droites vectorielles stables par f ∈ L(E) sont les droites vectorielles engendrées par les vecteurs
propres de f. On pourra remarquer que, si deux plans vectoriels sont stables par f, alors leur intersection l'est aussi.
Cf. aussi l'exercice 3.5.11 plus loin.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
95
Les méthodes à retenir
Diagonalisabilité
• Pour montrer qu'une matrice carrée A est diagonalisable et la diagonaliser, dans un exemple numérique
comportant éventuellement des paramètres (ex. 3.3.1, 3.3.2, 3.3.5), on peut essayer de former le polynôme
caractéristique χ A , en déduire les valeurs propres de A, et, pour chaque valeur propre de A, déterminer une base
de SEP(A,λ) ; on aura alors A = P D P −1 où D est la matrice diagonale des valeurs propres de A, dans un ordre
arbitraire, et P est la matrice obtenue en met-tant côte-à-côte les vecteurs d'une base de vecteurs propres de A associés, dans l'ordre, aux valeurs propres. Lors du calcul de χ A , essayer de factoriser « au maximum ».
Nous verrons plus loin (§ 4.5.1 p. 164) que toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormale pour le produit scalaire canonique.
• Pour étudier la diagonalisabilité d'une matrice carrée A comportant éventuellement des paramètres
(ex. 3.3.3, 3.3.4) et lorsque les valeurs propres et les vecteurs propres sont calculables, on pourra essayer d'appliquer la CNS de diagonalisabilité (p. 88).
Voir aussi plus loin la rubrique « Les méthodes à retenir » sur les polynômes d’endomorphismes p. 114.
• Pour déterminer valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice carrée A ∈ M n (K ), dans certains cas, il
peut être préférable de résoudre le système
AX = λX
X = 0
, d'inconnue (λ,X) ∈ K × M n,1 (K ) (ex. 3.3.7).
• Pour résoudre une équation matricielle du type B
2
= A, où A est donnée et B inconnue (ex. 3.3.8), on peut
essayer d'utiliser, si c'est possible, une diagonalisation de A, pour se ramener à une équation C
2
= D, où D est
diagonalisable connue et C inconnue (pas nécessairement diagonale).
• Pour décider si deux matrices A,B ∈ M n (K ) sont semblables ou ne le sont pas (ex. 3.3.9, 3.3.10), calculer
d'abord, si c'est possible, leurs traces, leurs polynômes caractéristiques. D'après le Cours, si A ∼ B, alors
tr(A) = tr(B), rg(A) = rg(B), det(A) = det(B) et χ A = χ B . Ainsi, par contraposition, si tr(A) = tr(B) ou
rg(A) = rg(B) ou det(A) = det(B) ou χ A = χ B , alors A et B ne sont pas semblables.
Si χ A = χ B , on peut espérer que A et B soient semblables et on essaiera de trouver une matrice inversible P, particulièrement simple et suggérée par les expressions de A et B, telle que P A = B P.
• Pour effectuer l'étude simultanée des valeurs propres et des vecteurs propres d'une matrice-compagnon A
(ex. 3.3.14), partir du système
AX = λX
X = 0
.
• Pour étudier le du commutant C(A) d'une matrice A ∈ M n (K ), défini par :
C(A) = {B ∈ M n (K ); AB = B A} ,
lorsque A est diagonale, ou plus généralement diagonalisable (ex. 3.3.21), essayer de se ramener à des calculs sur
des matrices décomposées en blocs.
• La recherche des sev stables par un endomorphisme est une étude fréquente (ex. 3.3.24 ; cf. aussi plus loin ex.
3.4.5). Déjà, les droites vectorielles stables par f ∈ L(E) sont les droites vectorielles engendrées par les vecteurs
propres de f. On pourra remarquer que, si deux plans vectoriels sont stables par f, alors leur intersection l'est aussi.
Cf. aussi l'exercice 3.5.11 plus loin.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.