Chapitre 3 • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
98
3.4 Trigonalisation
Dans ce § 3.4, E désigne un K-ev de dimension finie n, n 1.
Définition
1) Soit f ∈ L(E). On dit que f est trigonalisable si et seulement s'il existe une base
B de E telle que Mat B ( f ) soit triangulaire.
2) Soit A ∈ M n (K ). On dit que A est trigonalisable si et seulement s'il existe une
matrice triangulaire T de M n (K ) semblable à A.
Si A ∈ M n (K ) est trigonalisable, on appelle trigonalisation de A la donnée de P, T
(et P −1 ) telles que : P ∈ GL n (K ), T ∈ T n,s (K ) (ou T n,i (K )), A = PT P −1 .
Trigonaliser A, c'est déterminer P,T, (et P −1 ) convenant.
Au lieu de « trigonalisable », on dit aussi : triangulable, ou : triangularisable, ou : réductible
à la forme triangulaire.
Remarques :
1) Soient f ∈ L(E) , B 0 une base de E , A = Mat B 0 ( f ). Alors f est trigonalisable si et seulement si A est trigonalisable.
2) Toute matrice triangulaire est trigonalisable.
3) Toute matrice triangulaire inférieure est semblable à une matrice triangulaire supérieure,
et réciproquement. En effet, si T = (t i j ) ∈ T n,i (K ) , en notant P =
0
1
✧
1
0
, on a
P ∈ GL n (K ), P −1 = P et PT P −1 =
t n n t n n−1 . . . t n 1
. . . . . .
. . .
. . .
. . .
0
t 11
∈ T n,s (K ) .
Donc, pour qu'une matrice A de M n (K ) soit semblable à une matrice triangulaire inférieure, il faut et il suffit qu'elle soit semblable à une matrice triangulaire supérieure. Dans la suite
de ce cours, nous privilégierons, conformément à l'usage, les matrices triangulaires supérieures.
4) Si f ∈ L(E) est trigonalisable, alors les éléments diagonaux d'une matrice triangulaire
représentant f sont les valeurs propres de f, écrites sur cette diagonale autant de fois que
l'indiquent leurs ordres de multiplicité (cf. par exemple, (i) ⇒ (ii) du Th. ci-dessous).
3.3.24 Trouver les sev de R 3 stables par l'endomorphisme f dont la matrice dans la base canonique est
A =
1 0 2
2 1 0
0 2 1
.
3.3.25 Soient E un C -ev de dimension finie, α ∈ C ∗ ,
f,g ∈ L(E) tels que :
f ◦ g − g ◦ f = α f
g est diagonalisable
.
a) Montrer :
∀n ∈ N ∗ , f n ◦ g − g ◦ f n = nα f n .
b) En déduire que f est nilpotent.
3.3.26 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (R) telle que χ A soit scindé sur R . Montrer que A est diagonalisable dans M n (R) si
et seulement si A est diagonalisable dans M n (C).
C’est une généralisation de la notion de
diagonalisabilité.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Cette matrice de passage P « renverse »
l’ordre des éléments de la base
canonique.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Effectuer le produit PT P −1 .
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3.4 Trigonalisation
Dans ce § 3.4, E désigne un K-ev de dimension finie n, n 1.
Définition
1) Soit f ∈ L(E). On dit que f est trigonalisable si et seulement s'il existe une base
B de E telle que Mat B ( f ) soit triangulaire.
2) Soit A ∈ M n (K ). On dit que A est trigonalisable si et seulement s'il existe une
matrice triangulaire T de M n (K ) semblable à A.
Si A ∈ M n (K ) est trigonalisable, on appelle trigonalisation de A la donnée de P, T
(et P −1 ) telles que : P ∈ GL n (K ), T ∈ T n,s (K ) (ou T n,i (K )), A = PT P −1 .
Trigonaliser A, c'est déterminer P,T, (et P −1 ) convenant.
Au lieu de « trigonalisable », on dit aussi : triangulable, ou : triangularisable, ou : réductible
à la forme triangulaire.
Remarques :
1) Soient f ∈ L(E) , B 0 une base de E , A = Mat B 0 ( f ). Alors f est trigonalisable si et seulement si A est trigonalisable.
2) Toute matrice triangulaire est trigonalisable.
3) Toute matrice triangulaire inférieure est semblable à une matrice triangulaire supérieure,
et réciproquement. En effet, si T = (t i j ) ∈ T n,i (K ) , en notant P =
0
1
✧
1
0
, on a
P ∈ GL n (K ), P −1 = P et PT P −1 =
t n n t n n−1 . . . t n 1
. . . . . .
. . .
. . .
. . .
0
t 11
∈ T n,s (K ) .
Donc, pour qu'une matrice A de M n (K ) soit semblable à une matrice triangulaire inférieure, il faut et il suffit qu'elle soit semblable à une matrice triangulaire supérieure. Dans la suite
de ce cours, nous privilégierons, conformément à l'usage, les matrices triangulaires supérieures.
4) Si f ∈ L(E) est trigonalisable, alors les éléments diagonaux d'une matrice triangulaire
représentant f sont les valeurs propres de f, écrites sur cette diagonale autant de fois que
l'indiquent leurs ordres de multiplicité (cf. par exemple, (i) ⇒ (ii) du Th. ci-dessous).
3.3.24 Trouver les sev de R 3 stables par l'endomorphisme f dont la matrice dans la base canonique est
A =
1 0 2
2 1 0
0 2 1
.
3.3.25 Soient E un C -ev de dimension finie, α ∈ C ∗ ,
f,g ∈ L(E) tels que :
f ◦ g − g ◦ f = α f
g est diagonalisable
.
a) Montrer :
∀n ∈ N ∗ , f n ◦ g − g ◦ f n = nα f n .
b) En déduire que f est nilpotent.
3.3.26 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (R) telle que χ A soit scindé sur R . Montrer que A est diagonalisable dans M n (R) si
et seulement si A est diagonalisable dans M n (C).
C’est une généralisation de la notion de
diagonalisabilité.
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l’ordre des éléments de la base
canonique.
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Effectuer le produit PT P −1 .
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