Énoncés des exercices
129
En déduire que si M 3 =
max
t ∈ [ x 0 − 2 h , x 0 + h ]
| f
(3)
( t ) | ,alors
x 0 + h
x 0 − 2 h
f ( x ) dx −
9 h
4
f ( x 0 ) −
3 h
4
f ( x 0 − 2 h )
3 h
4
8
M 3 .
(9.1)
9.3 Une méthode multipas
Soit f ∈C
3
([t 0 , t 0 + T ] , R )et h ∈ R . On considère l’équation différentielle
( P )
y
( t ) = f ( t , y ( t )), t ∈ [ t 0 , t 0 + T ]
y ( t 0 ) = h
et on suppose que f vérifie la condition de Lipschitz :
∃ L > 0 , ∀ t ∈ [ t 0 , t 0 + T ] , ∀ y , z ∈ R , | f ( t , y ) − f ( t , z ) | L | y − z | .
Pour approcher la solution y ( · )de(P ), on subdivise l’intervalle [ t 0 , t 0 + T ]avecunpas constant
h = T / n et on pose t i = t 0 + ih,pour i = 0 ,...,n . y ( t i )est approchée par u i définie de la façon
suivante :
Pour l’initialisation
u 0 = h , x = u 0 + hf( t 0 , u 0 ) , u 2 = u 0 +2hf( t 1 , x ) , u 1 =
u o
4
+
x
2
+
u 2
4
.
Ensuite pour i = 2àn − 1:
u i +1 = u i − 2 +
9 h
4
f ( t i , u i )+
3 h
4
f ( t i − 2 , u i − 2 ) .
L’étude des erreurs commises pour les premiers termes est assez technique. On peut passer cette
première partied ans un premier temps et se contenter de constater que les majorations entre
solution exacte et solution approchée sont en O ( h
3
).
1. Nous allons démontrersuccessivement que si M i = max
t ∈ [ t 0 , t 0 + T ]
| y
( i )
( t ) | ,
| y ( t 1 ) − x |
M 2
2
h
2
,
(9.2)
| y ( t 2 ) − u 2 |
M 3
3
+ LM 2
h
3
,
(9.3)
| y ( t 1 ) − u 1 |
M 3
12
+
LM 2
4
h
3
.
(9.4)
(a) Montrer que y ( t 1 ) − x =
t 1
t 0
y
( t ) − y
( t 0 )
dt.
(b) En déduire (9.2)
(c) Montrer que y ( t 2 ) − u 2 =
t 2
t 0
y
( t ) − y
( t 1 )+y
( t 1 ) − f ( t 1 , x )
dt.
 Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit