130
9
•
Méthodes multipas
(d) En utilisant un développement de Taylor de y
( t )en t 1 ,montrer que
t 2
t 0
y
( t ) − y
( t 1 )
dt
M 3
3
h
3
.
(e) Sachant que y
( t 1 ) = f ( t 1 , y ( t 1 )), montrer que
| y
( t 1 ) − f ( t 1 , x ) | LM 2
h
2
2
.
(9.5)
(f) En déduire (9.3)
(g) Montrer que | y ( t 1 ) − u 1 | =
t 1
t 0
y
( t ) −
1
2
y
( t 0 ) −
1
2
y
( t 1 )+
1
2
y
( t 1 ) −
1
2
f ( t 1 , x )
dt
.
(h) Àl’aide la majoration obtenue pour la méthode des trapèzes (5.1), montrer que
t 1
t 0
y
( t ) dt − h
y
( t 0 )+y
( t 1 )
2
M 3
12
h
3
.
(i) En utilisant ànouveau (9.5), montrer (9.4).
2. Soit ´ i = y ( t i +1 ) − y ( t i − 2 ) −
9
4
hf( t i , y ( t i )) −
3
4
hf( t i − 2 , y ( t i − 2 )), l’erreur de consistance est
i = 0
| ´ i (cf chapitre 8). Majorer | ´ i | en fonction de h et de M 4 .Quel est l’ordre de la méthode ?
3. On considèrelasuite ( v i )vérifiant le schéma perturbé
v i +1 = v i − 2 +
9 h
4
f ( t i , v i )+
3 h
4
f ( t i − 2 , v i − 2 )+m i , 2 i n − 1
et on pose u i = max
| u i − v i | , | u i − 1 − v i − 1 | , | u i − 2 − v i − 2 |
.
Montrer que pour i 2 , | u i +1 − v i +1 | (1 +3Lh) u i + | m i | et en déduire une majoration de u i +1
en fonction de u i .
4. Démontrerlelemme suivant (Lemme de Gronwall) :
Soient ( a i ) et ( b i ) 2suites de réels positifs vérifiant a i +1 (1 + hK) a i + b i pour i 0 ,alors
∀ i 0 , a i e
K ( t i − t 0 )
a 0 +
i − 1
j = 0
e
K ( t i − t j +1 )
b j .
On pourra le démontrer par récurrence et remarquer que ∀ x ∈ R + , 1+x e
x
.
5. Déduire de 3) et 4) une majoration de | u i − v i | en fonction de
| u 0 − v 0 | , | u 1 − v 1 | , | u 2 − v 2 | , | m 2 | ,..., | m i − 1 | .
En déduire que la méthode est stable (cf chapitre 8).
6. Déterminer une majoration de l’erreur | y ( t i ) − u i | .
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Méthodes multipas
(d) En utilisant un développement de Taylor de y
( t )en t 1 ,montrer que
t 2
t 0
y
( t ) − y
( t 1 )
dt
M 3
3
h
3
.
(e) Sachant que y
( t 1 ) = f ( t 1 , y ( t 1 )), montrer que
| y
( t 1 ) − f ( t 1 , x ) | LM 2
h
2
2
.
(9.5)
(f) En déduire (9.3)
(g) Montrer que | y ( t 1 ) − u 1 | =
t 1
t 0
y
( t ) −
1
2
y
( t 0 ) −
1
2
y
( t 1 )+
1
2
y
( t 1 ) −
1
2
f ( t 1 , x )
dt
.
(h) Àl’aide la majoration obtenue pour la méthode des trapèzes (5.1), montrer que
t 1
t 0
y
( t ) dt − h
y
( t 0 )+y
( t 1 )
2
M 3
12
h
3
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(i) En utilisant ànouveau (9.5), montrer (9.4).
2. Soit ´ i = y ( t i +1 ) − y ( t i − 2 ) −
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hf( t i , y ( t i )) −
3
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hf( t i − 2 , y ( t i − 2 )), l’erreur de consistance est
i = 0
| ´ i (cf chapitre 8). Majorer | ´ i | en fonction de h et de M 4 .Quel est l’ordre de la méthode ?
3. On considèrelasuite ( v i )vérifiant le schéma perturbé
v i +1 = v i − 2 +
9 h
4
f ( t i , v i )+
3 h
4
f ( t i − 2 , v i − 2 )+m i , 2 i n − 1
et on pose u i = max
| u i − v i | , | u i − 1 − v i − 1 | , | u i − 2 − v i − 2 |
.
Montrer que pour i 2 , | u i +1 − v i +1 | (1 +3Lh) u i + | m i | et en déduire une majoration de u i +1
en fonction de u i .
4. Démontrerlelemme suivant (Lemme de Gronwall) :
Soient ( a i ) et ( b i ) 2suites de réels positifs vérifiant a i +1 (1 + hK) a i + b i pour i 0 ,alors
∀ i 0 , a i e
K ( t i − t 0 )
a 0 +
i − 1
j = 0
e
K ( t i − t j +1 )
b j .
On pourra le démontrer par récurrence et remarquer que ∀ x ∈ R + , 1+x e
x
.
5. Déduire de 3) et 4) une majoration de | u i − v i | en fonction de
| u 0 − v 0 | , | u 1 − v 1 | , | u 2 − v 2 | , | m 2 | ,..., | m i − 1 | .
En déduire que la méthode est stable (cf chapitre 8).
6. Déterminer une majoration de l’erreur | y ( t i ) − u i | .