128
9
•
Méthodes multipas
– 2
e
cas : On suppose maintenant que la donnée initiale u 1 est estimée par la méthode d’Euler
explicite et donc u 1 = 1 − h .Donner la formule de u i et déterminer lim
i →∞
u i .
On constate donc que sur un intervalle de temps très grand le choix de u 1 est crucial.
2. Soit b > 0etsoit le problème de Cauchysuivant :
( P )
y
( t ) = − b
2
y ( t )
y (0) = l , y
(0) = m
(a) Donner la solution exacte du problème ( P ).
(b)S oient h un pas de temps donné et t i = ih.Onpose
( P h )
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
u k +1 − 2 u k + u k − 1
h 2
= − b
2
u k , k = 1 ,...
u 0 = l ,
u 1 = l + h m −
1
2 h
2
b
2
l
Cette approximation de la dérivée seconde seraé tudiée dans le chapitres ur les différences
finies.
Montrer que ( P h )peut s’écrire sous la forme
( P h )
⎧
⎨
⎩
u k +1 = 2 a u k − u k − 1 , k 1
u 0 = l ,
u 1 = al + h m
(c) Déterminer a et b pour que la suite ( u k )s ’écrive sous la forme u k = ar
k
1 + br
k
2 ,p our
k = 0 , 1 , 2 ....où r 1 et r 2 sont solutions de r
2
− 2 a r +1= 0.
(d) Sousquelle condition la solution u est-elle oscillante ?
9.2 Intégration numérique
Soit f ∈C
3
( R , R )et x 0 ∈ R .
1. Pour h > 0, montrer qu’il existe un unique polynôme q ∈ P 2 vérifiant :
q ( x 0 ) = f ( x 0 ) , q
( x 0 ) = f
( x 0 ) , q ( x 0 − 2 h ) = f ( x 0 − 2 h ) .
2. Déterminer
x 0 + h
x 0 − 2 h
q ( x ) dx en fonction des valeurs de f .
3. On rappelle que l’erreur est donnée par f ( x ) − q ( x ) =
1
3!
p 3 ( x ) f
(3)
( j x )o ù j x ∈ I ,plus
petit intervalle fermé contenant x , x 0 et x 0 − 2 h et p 3 ( x ) = ( x − x 0 )
2
( x − x 0 +2h );il s’agit de
l’erreur d’approximation dans l’interpolation d’Hermite (cf [6] par exemple).
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Méthodes multipas
– 2
e
cas : On suppose maintenant que la donnée initiale u 1 est estimée par la méthode d’Euler
explicite et donc u 1 = 1 − h .Donner la formule de u i et déterminer lim
i →∞
u i .
On constate donc que sur un intervalle de temps très grand le choix de u 1 est crucial.
2. Soit b > 0etsoit le problème de Cauchysuivant :
( P )
y
( t ) = − b
2
y ( t )
y (0) = l , y
(0) = m
(a) Donner la solution exacte du problème ( P ).
(b)S oient h un pas de temps donné et t i = ih.Onpose
( P h )
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
u k +1 − 2 u k + u k − 1
h 2
= − b
2
u k , k = 1 ,...
u 0 = l ,
u 1 = l + h m −
1
2 h
2
b
2
l
Cette approximation de la dérivée seconde seraé tudiée dans le chapitres ur les différences
finies.
Montrer que ( P h )peut s’écrire sous la forme
( P h )
⎧
⎨
⎩
u k +1 = 2 a u k − u k − 1 , k 1
u 0 = l ,
u 1 = al + h m
(c) Déterminer a et b pour que la suite ( u k )s ’écrive sous la forme u k = ar
k
1 + br
k
2 ,p our
k = 0 , 1 , 2 ....où r 1 et r 2 sont solutions de r
2
− 2 a r +1= 0.
(d) Sousquelle condition la solution u est-elle oscillante ?
9.2 Intégration numérique
Soit f ∈C
3
( R , R )et x 0 ∈ R .
1. Pour h > 0, montrer qu’il existe un unique polynôme q ∈ P 2 vérifiant :
q ( x 0 ) = f ( x 0 ) , q
( x 0 ) = f
( x 0 ) , q ( x 0 − 2 h ) = f ( x 0 − 2 h ) .
2. Déterminer
x 0 + h
x 0 − 2 h
q ( x ) dx en fonction des valeurs de f .
3. On rappelle que l’erreur est donnée par f ( x ) − q ( x ) =
1
3!
p 3 ( x ) f
(3)
( j x )o ù j x ∈ I ,plus
petit intervalle fermé contenant x , x 0 et x 0 − 2 h et p 3 ( x ) = ( x − x 0 )
2
( x − x 0 +2h );il s’agit de
l’erreur d’approximation dans l’interpolation d’Hermite (cf [6] par exemple).