Chapitre 1 • Concepts fondamentaux : les atomes
8
L’étude qui suit illustre ce qu’on appelle la particule dans une boîte
unidimensionnelle et illustre la quantification provenant de l’équation d’onde de Schrödinger.
L’équation d’onde de Schrödinger pour le mouvement d’une
particule dans une boîte unidimensionnelle est donnée par :
d
d
2
2
2
2
8
0
ψ
π
ψ
x
m
h
E V
+
−
(
) =
où m est la masse, E l’énergie totale et V l’énergie potentielle de la
particule. L’obtention de cette équation est envisagée dans l’ensemble d’exercices à la fin de l’encadré 1.3. Pour un système donné où
V et m sont connus, nous pouvons utiliser l’équation de Schrödinger
pour obtenir les valeurs de E (les énergies permises de la particule) et de ψ (la fonction d’onde). La fonction d’onde elle-même
n’a pas de signification physique, mais ψ
2
est une probabilité (voir
le texte principal) et pour que ce soit le cas, ψ doit avoir certaines
propriétés :
● ψ doit être finie pour toutes les valeurs de x ;
● ψ ne peut avoir qu’une seule valeur pour chaque valeur de x ;
● ψ et
d
d
ψ
x
doivent varier de façon continue lorsque x varie.
Considérons maintenant une particule qui subit un mouvement ondulatoire harmonique simple dans une seule dimension,
c’est-à-dire que nous pouvons fixer l’axe x comme direction de la
propagation de l’onde (le choix de x est arbitraire). Ajoutons comme
contrainte au mouvement que la particule ne peut pas aller au-delà
des parois verticales d’une boîte de largeur a. Comme aucune force
ne s’exerce sur la particule à l’intérieur de la boîte, l’énergie potentielle V est nulle ; si nous prenons V = 0, nous imposons à x des limites telles que 0 ≤ x ≤ a, ce qui signifie que la particule ne peut pas
sortir de la boîte. La seule restriction que nous imposons à l’énergie
totale E est d’être positive et de ne pouvoir être infinie. Il existe une
restriction supplémentaire que nous nous contenterons d’indiquer :
la condition aux limites pour la particule dans la boîte indique que
ψ doit être nul pour x = 0 et x = a.
Récrivons alors l’équation de Schrödinger dans le cas particulier
de la particule dans une boîte unidimensionnelle où V = 0 :
d
d
2
2
2
2
8
ψ
π
ψ
x
mE
h
= −
qu’on peut écrire plus simplement :
d
d
2
2
2
ψ
ψ
x
k
= −
où k
mE
h
2
2
2
8
=
π
La solution à cette équation générale bien connue est :
ψ = A sin kx + B cos kx
où A et B sont des constantes d’intégration. Si x = 0, sin kx = 0 et
cos kx = 1 ; d’où ψ = B pour x = 0. Mais la condition aux limites cidessus indique que ψ = 0 lorsque x = 0, et ceci n’est vrai que si B = 0.
De même, d’après la condition aux limites, nous voyons que ψ = 0 si
x = a, et nous pouvons récrire l’équation ci-dessus sous la forme :
ψ = A sin ka = 0
Puisque la probabilité ψ
2
que la particule se trouve entre x = 0 et
x = a ne peut pas être nulle (la particule doit se trouver quelque part
à l’intérieur de la boîte), A ne peut pas être nul et la dernière équation n’est valable que si :
ka = nπ
où n = 1, 2, 3... ; n ne peut pas être nul car cela rendrait nulle la probabilité ψ
2
, ce qui signifierait que la particule n’est plus dans la boîte.
En combinant les deux dernières équations, on obtient :
ψ
π
= A
n x
a
sin
et d’après ce qu’on a vu précédemment :
E
k h
m
n h
ma
=
=
2 2
2
2 2
2
8
8
π
où n = 1, 2, 3... ; n est le nombre quantique qui détermine l’énergie
d’une particule de masse m confinée dans une boîte unidimensionnelle de largeur a. Ainsi, les limites imposées à la valeur de ψ ont
conduit à des niveaux d’énergie quantifiés dont l’espacement est
déterminé par m et a.
Le mouvement résultant de la particule est décrit par une série
d’ondes stationnaires sinusoïdales dont trois sont représentées cidessous. La fonction d’onde ψ 2 pour longueur d’onde a alors que
les longueurs d’onde de ψ 1 et ψ 3 sont respectivement
a
2
et
3
2
a .
Chacune des ondes du schéma a une amplitude nulle à l’origine (au
point a = 0) ; les points pour lesquels ψ = 0 sont appelés nœuds.
Pour une particule donnée de masse m, les distances entre les
niveaux d’énergie varient avec n
2
, ce qui signifie que les espacements ne sont pas égaux.
ψ 3
n = 3
ψ 2
n = 2
ψ 1
n = 1
0
axe x
a
9h
2
8ma
2
4h
2
8ma
2
h
2
8ma
2
E 1 =
E 2 =
E 3 =
C O n T E x T E C h i M i q U E E T T h É O R i q U E
la particule dans une boîte
Encadré 1.3
8
L’étude qui suit illustre ce qu’on appelle la particule dans une boîte
unidimensionnelle et illustre la quantification provenant de l’équation d’onde de Schrödinger.
L’équation d’onde de Schrödinger pour le mouvement d’une
particule dans une boîte unidimensionnelle est donnée par :
d
d
2
2
2
2
8
0
ψ
π
ψ
x
m
h
E V
+
−
(
) =
où m est la masse, E l’énergie totale et V l’énergie potentielle de la
particule. L’obtention de cette équation est envisagée dans l’ensemble d’exercices à la fin de l’encadré 1.3. Pour un système donné où
V et m sont connus, nous pouvons utiliser l’équation de Schrödinger
pour obtenir les valeurs de E (les énergies permises de la particule) et de ψ (la fonction d’onde). La fonction d’onde elle-même
n’a pas de signification physique, mais ψ
2
est une probabilité (voir
le texte principal) et pour que ce soit le cas, ψ doit avoir certaines
propriétés :
● ψ doit être finie pour toutes les valeurs de x ;
● ψ ne peut avoir qu’une seule valeur pour chaque valeur de x ;
● ψ et
d
d
ψ
x
doivent varier de façon continue lorsque x varie.
Considérons maintenant une particule qui subit un mouvement ondulatoire harmonique simple dans une seule dimension,
c’est-à-dire que nous pouvons fixer l’axe x comme direction de la
propagation de l’onde (le choix de x est arbitraire). Ajoutons comme
contrainte au mouvement que la particule ne peut pas aller au-delà
des parois verticales d’une boîte de largeur a. Comme aucune force
ne s’exerce sur la particule à l’intérieur de la boîte, l’énergie potentielle V est nulle ; si nous prenons V = 0, nous imposons à x des limites telles que 0 ≤ x ≤ a, ce qui signifie que la particule ne peut pas
sortir de la boîte. La seule restriction que nous imposons à l’énergie
totale E est d’être positive et de ne pouvoir être infinie. Il existe une
restriction supplémentaire que nous nous contenterons d’indiquer :
la condition aux limites pour la particule dans la boîte indique que
ψ doit être nul pour x = 0 et x = a.
Récrivons alors l’équation de Schrödinger dans le cas particulier
de la particule dans une boîte unidimensionnelle où V = 0 :
d
d
2
2
2
2
8
ψ
π
ψ
x
mE
h
= −
qu’on peut écrire plus simplement :
d
d
2
2
2
ψ
ψ
x
k
= −
où k
mE
h
2
2
2
8
=
π
La solution à cette équation générale bien connue est :
ψ = A sin kx + B cos kx
où A et B sont des constantes d’intégration. Si x = 0, sin kx = 0 et
cos kx = 1 ; d’où ψ = B pour x = 0. Mais la condition aux limites cidessus indique que ψ = 0 lorsque x = 0, et ceci n’est vrai que si B = 0.
De même, d’après la condition aux limites, nous voyons que ψ = 0 si
x = a, et nous pouvons récrire l’équation ci-dessus sous la forme :
ψ = A sin ka = 0
Puisque la probabilité ψ
2
que la particule se trouve entre x = 0 et
x = a ne peut pas être nulle (la particule doit se trouver quelque part
à l’intérieur de la boîte), A ne peut pas être nul et la dernière équation n’est valable que si :
ka = nπ
où n = 1, 2, 3... ; n ne peut pas être nul car cela rendrait nulle la probabilité ψ
2
, ce qui signifierait que la particule n’est plus dans la boîte.
En combinant les deux dernières équations, on obtient :
ψ
π
= A
n x
a
sin
et d’après ce qu’on a vu précédemment :
E
k h
m
n h
ma
=
=
2 2
2
2 2
2
8
8
π
où n = 1, 2, 3... ; n est le nombre quantique qui détermine l’énergie
d’une particule de masse m confinée dans une boîte unidimensionnelle de largeur a. Ainsi, les limites imposées à la valeur de ψ ont
conduit à des niveaux d’énergie quantifiés dont l’espacement est
déterminé par m et a.
Le mouvement résultant de la particule est décrit par une série
d’ondes stationnaires sinusoïdales dont trois sont représentées cidessous. La fonction d’onde ψ 2 pour longueur d’onde a alors que
les longueurs d’onde de ψ 1 et ψ 3 sont respectivement
a
2
et
3
2
a .
Chacune des ondes du schéma a une amplitude nulle à l’origine (au
point a = 0) ; les points pour lesquels ψ = 0 sont appelés nœuds.
Pour une particule donnée de masse m, les distances entre les
niveaux d’énergie varient avec n
2
, ce qui signifie que les espacements ne sont pas égaux.
ψ 3
n = 3
ψ 2
n = 2
ψ 1
n = 1
0
axe x
a
9h
2
8ma
2
4h
2
8ma
2
h
2
8ma
2
E 1 =
E 2 =
E 3 =
C O n T E x T E C h i M i q U E E T T h É O R i q U E
la particule dans une boîte
Encadré 1.3