LES TESTS
PARAMÊTRIQUES; BUT ET PRINCIPAUX TESTS
249
Ecaciîé du test de Mann-=Whümey— Wilcoxon
Ï
Ce test perd évidemment une certaine
d’information,puisqu’il
n’utilise que le rang des observations, et non leur valeur réelle. Il est intéressant
de chiffrer cette perte d’information en comparant la puissance du test à celle
du test habituel de comparaison de deux moyennes. Nous supposerons d’abord
les effectifs élevés; ce test de référence est alors le test classique de l’écart—réduit &
du chapitre XHI.
Un test est d’autant plus puissant que l’écart—réduit est plus grand. La com—
paraison de puissance du test U et du test classique a peut donc se faire en consi—
,
8U
.
8U
2
derant le rapport
ou mieux encore
(?> ; ce sont en effet les carrés des
écarts—réduits qui sont proportionnels aux nombres des observations, leur
rapport permet donc de connaître le nombre de sujets néeeSsaire dans les deux
cas pour obtenir une même puissance.
Si on suppose les distributions de x et de y normales et de même variance
(cas classique), on peut montrer que :
e
2
(£)
=
0,95.
8
.
Ainsi le test non paramétrique demande 100 sujets, là où il en faudrait 95
avec le test classique de comparaison des moyennes, pour une même aptitude
à déceler une différence. La perte d’efcacité ou d’information est donc insi—
gniante. Et encore on peut ajouter que, dans ce cas des distributions normales
et de même variance, le test de l’écart—réduit est le meilleur possible et ne perd
aucune information, bien qu’il utilise seulement la moyenne et la variance, et
non toutes les valeurs individuelles.
Lorsque les distributions ne sont plus normales, le test de l’écart-réduit
perd lui aussi de l’information, et la perte d’information relative du test non
paramétrique peut être encore plus faible, voire négative, le test non paramétrique étant alors plus efcace. Le test non paramétrique peut aussi, bien
.
8U
2
entendu, être moins efcace, mais on montre que dans ce cas le rapport
ne descend jamais au-dessous de 0,86; ce minimum n’étant par ailleurs atteint
que pour des distributions de x et y extrêmement peu plausibles en pratique
courante (distributions en forme de U).
Les résultats précédents ne sont vrais en toute rigueur que pour des effectifs
importants; pour des effectifs faibles, il faudrait répéter le raisonnement en
remplaçant l’écart—réduit habituel par le test t. On montre que Si les distributions sont normales et de même variance, le test non paramétrique ne perd
qu’une information négligeable par rapport au test t. _S_1
ces cond1t10ns sont
loin d’être vériées, le test non paramétrique est seul ut1hsable, mars les cons1—
dérations qui précèdent sont rassurantes quant à son efcacrte‘.
PARAMÊTRIQUES; BUT ET PRINCIPAUX TESTS
249
Ecaciîé du test de Mann-=Whümey— Wilcoxon
Ï
Ce test perd évidemment une certaine
d’information,puisqu’il
n’utilise que le rang des observations, et non leur valeur réelle. Il est intéressant
de chiffrer cette perte d’information en comparant la puissance du test à celle
du test habituel de comparaison de deux moyennes. Nous supposerons d’abord
les effectifs élevés; ce test de référence est alors le test classique de l’écart—réduit &
du chapitre XHI.
Un test est d’autant plus puissant que l’écart—réduit est plus grand. La com—
paraison de puissance du test U et du test classique a peut donc se faire en consi—
,
8U
.
8U
2
derant le rapport
ou mieux encore
(?> ; ce sont en effet les carrés des
écarts—réduits qui sont proportionnels aux nombres des observations, leur
rapport permet donc de connaître le nombre de sujets néeeSsaire dans les deux
cas pour obtenir une même puissance.
Si on suppose les distributions de x et de y normales et de même variance
(cas classique), on peut montrer que :
e
2
(£)
=
0,95.
8
.
Ainsi le test non paramétrique demande 100 sujets, là où il en faudrait 95
avec le test classique de comparaison des moyennes, pour une même aptitude
à déceler une différence. La perte d’efcacité ou d’information est donc insi—
gniante. Et encore on peut ajouter que, dans ce cas des distributions normales
et de même variance, le test de l’écart—réduit est le meilleur possible et ne perd
aucune information, bien qu’il utilise seulement la moyenne et la variance, et
non toutes les valeurs individuelles.
Lorsque les distributions ne sont plus normales, le test de l’écart-réduit
perd lui aussi de l’information, et la perte d’information relative du test non
paramétrique peut être encore plus faible, voire négative, le test non paramétrique étant alors plus efcace. Le test non paramétrique peut aussi, bien
.
8U
2
entendu, être moins efcace, mais on montre que dans ce cas le rapport
ne descend jamais au-dessous de 0,86; ce minimum n’étant par ailleurs atteint
que pour des distributions de x et y extrêmement peu plausibles en pratique
courante (distributions en forme de U).
Les résultats précédents ne sont vrais en toute rigueur que pour des effectifs
importants; pour des effectifs faibles, il faudrait répéter le raisonnement en
remplaçant l’écart—réduit habituel par le test t. On montre que Si les distributions sont normales et de même variance, le test non paramétrique ne perd
qu’une information négligeable par rapport au test t. _S_1
ces cond1t10ns sont
loin d’être vériées, le test non paramétrique est seul ut1hsable, mars les cons1—
dérations qui précèdent sont rassurantes quant à son efcacrte‘.