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LES TESTS NON PARAMÊTRIQUES
Pour comparer
les deux moyennes, il faudrait utiliser le test ?, qui suppose
‘
la normalité des distributions et l’égalité des variances; hypothèses bien
entendu invériables avec des effectifs aussi faibles. C’est donc bien dans un
‘
tel cas que les méthodes non paramétriques doivent rendre des services.
Les principaux tests vont être exposés en utilisant.cet exemple numérique.
Test U de Mann et Whitney
Eectuons la comparaison entre chaque observation x et chaque obser-'
vation y (nAnB comparais0ns) et Considérons
l’indice ‘Uyx égal au nombre des
couples (x, y) où y < x. Pour le Calculer, il sùît‘de ranger les 11 observations
par valeurs croissantes, ce qui donne dans notre exemple le classement :
(l)
_
puis de compter pour chaque x le nombre des qui lui sont inférieurs, et de
faire la somme des résultats trouvés. Ici :
_
On pourrait aussi considérer Uæy, nombre de couples où x < y. On aurait _
trouvé Uxy = 22, puisque
"
.
Uxy + Uyx = nombre de comparaisons = nAnB = 30.
On vériera plus loin que l’utilisation de Uxy et celle de Uya; conduisent au
même résultat. On examinera également plus loin la démarche à suivre lorsque
le classement présente des << ex—æquo >>.
L’indice Uya: peut prendre toutes les valeurs entières entre 0 (tous les
x inférieurs à tous les y) et nAnB (cas inverse). Une valeur observée « trop
petite » ou << trop grande » indiquera que les x sont en moyenne plus petits ou
plus grands que les y. On comprend donc la raison d’être de cet indice.
Pour savoir si la valeur est << trop petite » ou << trop grande », il faut, comme
dans tout test, la comparer à la valeur théorique dans l’hypothèse nulle où les
deux échantillons proviennent d’une même population.
Dans l’hypothèse nulle, pour un y déterminé, un x.a autant de chances de
lui être inférieur que supérieur; le nombre de x qui lui sont supérieurs vaut donc
”A
.
.
en
moyenne
et comme cecr est vrai pour tous les y, au nombre de 713,
l’indice Uyx a pour valeur attendue :
1
(2)
U 0 = — nA”B
2
(Il en
est de même, évidemment, pour Uxy.)
LES TESTS NON PARAMÊTRIQUES
Pour comparer
les deux moyennes, il faudrait utiliser le test ?, qui suppose
‘
la normalité des distributions et l’égalité des variances; hypothèses bien
entendu invériables avec des effectifs aussi faibles. C’est donc bien dans un
‘
tel cas que les méthodes non paramétriques doivent rendre des services.
Les principaux tests vont être exposés en utilisant.cet exemple numérique.
Test U de Mann et Whitney
Eectuons la comparaison entre chaque observation x et chaque obser-'
vation y (nAnB comparais0ns) et Considérons
l’indice ‘Uyx égal au nombre des
couples (x, y) où y < x. Pour le Calculer, il sùît‘de ranger les 11 observations
par valeurs croissantes, ce qui donne dans notre exemple le classement :
(l)
_
puis de compter pour chaque x le nombre des qui lui sont inférieurs, et de
faire la somme des résultats trouvés. Ici :
_
On pourrait aussi considérer Uæy, nombre de couples où x < y. On aurait _
trouvé Uxy = 22, puisque
"
.
Uxy + Uyx = nombre de comparaisons = nAnB = 30.
On vériera plus loin que l’utilisation de Uxy et celle de Uya; conduisent au
même résultat. On examinera également plus loin la démarche à suivre lorsque
le classement présente des << ex—æquo >>.
L’indice Uya: peut prendre toutes les valeurs entières entre 0 (tous les
x inférieurs à tous les y) et nAnB (cas inverse). Une valeur observée « trop
petite » ou << trop grande » indiquera que les x sont en moyenne plus petits ou
plus grands que les y. On comprend donc la raison d’être de cet indice.
Pour savoir si la valeur est << trop petite » ou << trop grande », il faut, comme
dans tout test, la comparer à la valeur théorique dans l’hypothèse nulle où les
deux échantillons proviennent d’une même population.
Dans l’hypothèse nulle, pour un y déterminé, un x.a autant de chances de
lui être inférieur que supérieur; le nombre de x qui lui sont supérieurs vaut donc
”A
.
.
en
moyenne
et comme cecr est vrai pour tous les y, au nombre de 713,
l’indice Uyx a pour valeur attendue :
1
(2)
U 0 = — nA”B
2
(Il en
est de même, évidemment, pour Uxy.)