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LIAISON ENTRE DEUX CARACTÈRES QUANTITATIFS
Cette variance liée
faible que la variance de la…distribution'marginale des y : ainsi, dans notre exemple, le poids des enfants étant
l’âge de
la mère, la variabilité des poids, pour des mères d’âge donné, est plus faible
que pour l’ensemble des mères (*).
,
On démontre que la variance liée de y, soit of, s’exprime en fonction de la
variance marginale 01,2 et
de corrélation p par :
’2
2
2
031 : ay (1 “" P )
relation qu’on peut pratiquement appliquer à leurs estimations :
-
’2
2
2
S,, = sy (l — r )
Dans notre exemple où r = 0,24 on obtient :
12
2
2
2
S,, = S,, (1 —— 0,24) = 0,94 sy
qui permet de calculer la variance liée en fonction de la variance marginale.
Le coe'z‘cient de corrélation et l’intensité de la liaison ‘
Dans notre exemple, la variance liée est à peine plus faible que la variance
totale (ag,2 = 0,94 of). C’est parce que le coefcient decorrélation r = 0,24
est faible. La situation serait différente avec des coefcients de corrélation plus
élevés. La formule of = O'y2 (l — p2) montre en effet que la variance liée vaut :
Pour
p
=0
(pasdeliaison)..………………..
ay2
'
Pour|p| =0,25
Pour | p| =0,50
0,75 03,2
Pour | 9 | =0,75
0,440y2
Pour|p| =0,90
0,19 ay2
Pour | 9 | =1
(maximumpossible)
0Ainsi le fait de xer x réduit la variabilité de y dans une proportion d’autant
plus grande que le coe‘icient de corrélation est, en valeur absolue, plus élevé. Il
apparaît donc bien que la valeur absolue du coeîcient de corrélation mesure
l’intensité de la liaison entre les deux variables.
Cette propriété confère à l’indice r un contenu plus riche que n’ont les
indices rencontrés précédemment, comme
F ou t. Ceux—ci permettent de tester l’indépendance entre 2 variables, mais en cas de dépendance, ils ne se prêtent
pas à une interprétation concrète; en particulier, ils ne mesurent pas l’intensité
de la liaison, et une grande valeur des indices indique, non une liaison forte,
mais une très grande vraisemblance que la liaison existe. Pour une liaison
_
*
La variabilité totale, ou marginale, _de y a 2 composantes : a) une variation systéma—
tique en fonction de x (11 y a des mères Jeunes et des mères âgées, donc des poids faibles
et des
elevés) et b) une uctuation aléatoire de y pour x donné (variabilité des poids
pour un age donné des mères). C’est celle-01 qui correspond à la variance résiduelle ; elle
n’est donc qu’une partie de la variabilité totale.
LIAISON ENTRE DEUX CARACTÈRES QUANTITATIFS
Cette variance liée
faible que la variance de la…distribution'marginale des y : ainsi, dans notre exemple, le poids des enfants étant
l’âge de
la mère, la variabilité des poids, pour des mères d’âge donné, est plus faible
que pour l’ensemble des mères (*).
,
On démontre que la variance liée de y, soit of, s’exprime en fonction de la
variance marginale 01,2 et
de corrélation p par :
’2
2
2
031 : ay (1 “" P )
relation qu’on peut pratiquement appliquer à leurs estimations :
-
’2
2
2
S,, = sy (l — r )
Dans notre exemple où r = 0,24 on obtient :
12
2
2
2
S,, = S,, (1 —— 0,24) = 0,94 sy
qui permet de calculer la variance liée en fonction de la variance marginale.
Le coe'z‘cient de corrélation et l’intensité de la liaison ‘
Dans notre exemple, la variance liée est à peine plus faible que la variance
totale (ag,2 = 0,94 of). C’est parce que le coefcient decorrélation r = 0,24
est faible. La situation serait différente avec des coefcients de corrélation plus
élevés. La formule of = O'y2 (l — p2) montre en effet que la variance liée vaut :
Pour
p
=0
(pasdeliaison)..………………..
ay2
'
Pour|p| =0,25
Pour | p| =0,50
0,75 03,2
Pour | 9 | =0,75
0,440y2
Pour|p| =0,90
0,19 ay2
Pour | 9 | =1
(maximumpossible)
0Ainsi le fait de xer x réduit la variabilité de y dans une proportion d’autant
plus grande que le coe‘icient de corrélation est, en valeur absolue, plus élevé. Il
apparaît donc bien que la valeur absolue du coeîcient de corrélation mesure
l’intensité de la liaison entre les deux variables.
Cette propriété confère à l’indice r un contenu plus riche que n’ont les
indices rencontrés précédemment, comme
F ou t. Ceux—ci permettent de tester l’indépendance entre 2 variables, mais en cas de dépendance, ils ne se prêtent
pas à une interprétation concrète; en particulier, ils ne mesurent pas l’intensité
de la liaison, et une grande valeur des indices indique, non une liaison forte,
mais une très grande vraisemblance que la liaison existe. Pour une liaison
_
*
La variabilité totale, ou marginale, _de y a 2 composantes : a) une variation systéma—
tique en fonction de x (11 y a des mères Jeunes et des mères âgées, donc des poids faibles
et des
elevés) et b) une uctuation aléatoire de y pour x donné (variabilité des poids
pour un age donné des mères). C’est celle-01 qui correspond à la variance résiduelle ; elle
n’est donc qu’une partie de la variabilité totale.