_
PETITS ÉCHANTILLONS
’
157
Comparaison de dem: moyennes observées
‘
Dans le cas des grands échantillons, la comparaison était basée sur
réduit
-
'
mA — mB
—
'
s
=
___—_,
‘
GAZ
'ÜB2
rw.
:
3
f— + _.
«
_
”A
”B
dans lequel on remplaçait les valeurs inconnues
et 032 par leur estimations
SA2 et 5732 calculées d’après les échantillons. Dans le cas de petits échantillons
cette substitution n’est plus possible, les estimations pouvant s’écarter beaucoup
des vraies valeurs. Le problème ne peut être abordé simplement que si on sup—
pose 0A2 = 032, c’est—à—dire que les échantillons proviennent de populations
pouvant différer par leur moyenne (c’est l’hypothèse à tester), mais pas par
leur variance.
'
Si l’on tient compte de l’hypothèse de normalité déjà formulée, notre pro—
blème est nalement limité à la comparaison des moyennes de 2 populations
normales de même variance. Nous reviendrons plus loin sur cette limitation,
pour montrer qu’elle n’est pas très restrictive.
La solution du problème demande, dans l’emploi de l’écart-réduit ci—deSsus,
deux modications par rapport au cas des grands échantillons :
_
a) On ne remplace pas ÜA2 et 032 par leurs estimations sA2 et SB2 calculées
-
sur chacun des échantillons. Les 2 variances étant en effet supposées égales on
calcule, sur l’ensemble des échantillons, une estimation unique 82 de la variance
commune 02, qui doit être obtenue comme suit : partant des 2 estimations
fournies, l’une par le premier échantillon, soit :
_
Z'('x —— mA)2
___—_!
nA — 1
l’autre par le second, soit :
E(x —— mg»)2
nB —— 1
on montre que la meilleure estimation de 02 est une expression formée à partir
des précédentes en prenant comme numérateur la somme de leurs numérateurs
et comme dénominateur la somme de leurs dénommateurs, sort :
2
E(x — mA)2 + E(x — mg)2
3
:
———————————————_——“
71A + "B — 2
b) La deuxième différence est que l’expression obtenue, lorsqu’on a rem—
placé
et 032 par s2, ne suit pas la 101 de probabilite d un ecart—redurt,
mais la loi de Student-Fisher, résumée dans la table de t, pour le nombre de
PETITS ÉCHANTILLONS
’
157
Comparaison de dem: moyennes observées
‘
Dans le cas des grands échantillons, la comparaison était basée sur
réduit
-
'
mA — mB
—
'
s
=
___—_,
‘
GAZ
'ÜB2
rw.
:
3
f— + _.
«
_
”A
”B
dans lequel on remplaçait les valeurs inconnues
et 032 par leur estimations
SA2 et 5732 calculées d’après les échantillons. Dans le cas de petits échantillons
cette substitution n’est plus possible, les estimations pouvant s’écarter beaucoup
des vraies valeurs. Le problème ne peut être abordé simplement que si on sup—
pose 0A2 = 032, c’est—à—dire que les échantillons proviennent de populations
pouvant différer par leur moyenne (c’est l’hypothèse à tester), mais pas par
leur variance.
'
Si l’on tient compte de l’hypothèse de normalité déjà formulée, notre pro—
blème est nalement limité à la comparaison des moyennes de 2 populations
normales de même variance. Nous reviendrons plus loin sur cette limitation,
pour montrer qu’elle n’est pas très restrictive.
La solution du problème demande, dans l’emploi de l’écart-réduit ci—deSsus,
deux modications par rapport au cas des grands échantillons :
_
a) On ne remplace pas ÜA2 et 032 par leurs estimations sA2 et SB2 calculées
-
sur chacun des échantillons. Les 2 variances étant en effet supposées égales on
calcule, sur l’ensemble des échantillons, une estimation unique 82 de la variance
commune 02, qui doit être obtenue comme suit : partant des 2 estimations
fournies, l’une par le premier échantillon, soit :
_
Z'('x —— mA)2
___—_!
nA — 1
l’autre par le second, soit :
E(x —— mg»)2
nB —— 1
on montre que la meilleure estimation de 02 est une expression formée à partir
des précédentes en prenant comme numérateur la somme de leurs numérateurs
et comme dénominateur la somme de leurs dénommateurs, sort :
2
E(x — mA)2 + E(x — mg)2
3
:
———————————————_——“
71A + "B — 2
b) La deuxième différence est que l’expression obtenue, lorsqu’on a rem—
placé
et 032 par s2, ne suit pas la 101 de probabilite d un ecart—redurt,
mais la loi de Student-Fisher, résumée dans la table de t, pour le nombre de