VI
Table of Contents of Volume III
(i) Diffeomorphisms and local charts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
(ii) Moving frames and tensor fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
(iii) Covariant derivatives on a Cartesian space . . . . . . . . . . . . . 161
§ 2. Differential Forms of Degree 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4 – Differential Forms of Degree 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5 – Local Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
(i) Existence : calculations in terms of coordinates . . . . . . . . . . . 168
(ii) Existence of local primitives : intrinsic formulas . . . . . . . . . . 170
6 – Integration Along a Path. Inverse Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
(i) Integrals of a differential form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
(ii) Inverse image of a differential form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7 – Effect of a Homotopy on an Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
(i) Differentiation with respect to a path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
(ii) Effect of a homotopy on an integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
(iii) The Banach space C
1/2 (I; E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
§ 3. Integration of Differential Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8 – Exterior Derivative of a Form of Degree 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
(i) Physicists’ Vector Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
(ii) Differential forms of degree 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
(iii) Forms of degree p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9 – Extended Integrals over a 2-Dimensional Path . . . . . . . . . . . . . . 191
(ii) Stokes’ formula for a 2-dimensional path . . . . . . . . . . . . . . . . 195
(iii) Integral of an inverse image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
(iv) A planar example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
(v) Classical version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
10 – Change of Variables in a Multiple Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
(i) Case where ϕ is linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
(ii) Approximation Lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
(iii) Change of variable formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
(iv) Stokes’ formula for a p-dimensional path . . . . . . . . . . . . . . . . 215
§ 4. Differential Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
11 – What is a Manifold ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
(i) The sphere in R
3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
(ii) The notion of a manifold of class C
r and dimension d . . . . 219
(iii) Some Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
(iv) Differentiable maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
12 – Tangent vectors and Differentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
(i) Vectors and tangent vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
(ii) Tangent vector to a curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
(iii) Differential of a map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
(iv) Partial differentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
(v) The manifold of tangent vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
13 – Submanifolds and Subimmersions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
(i) Submanifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
(i) The exterior derivative as an infinitesimal integral . . . . . . . . 192
Table of Contents of Volume III
(i) Diffeomorphisms and local charts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
(ii) Moving frames and tensor fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
(iii) Covariant derivatives on a Cartesian space . . . . . . . . . . . . . 161
§ 2. Differential Forms of Degree 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4 – Differential Forms of Degree 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5 – Local Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
(i) Existence : calculations in terms of coordinates . . . . . . . . . . . 168
(ii) Existence of local primitives : intrinsic formulas . . . . . . . . . . 170
6 – Integration Along a Path. Inverse Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
(i) Integrals of a differential form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
(ii) Inverse image of a differential form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7 – Effect of a Homotopy on an Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
(i) Differentiation with respect to a path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
(ii) Effect of a homotopy on an integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
(iii) The Banach space C
1/2 (I; E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
§ 3. Integration of Differential Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8 – Exterior Derivative of a Form of Degree 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
(i) Physicists’ Vector Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
(ii) Differential forms of degree 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
(iii) Forms of degree p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9 – Extended Integrals over a 2-Dimensional Path . . . . . . . . . . . . . . 191
(ii) Stokes’ formula for a 2-dimensional path . . . . . . . . . . . . . . . . 195
(iii) Integral of an inverse image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
(iv) A planar example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
(v) Classical version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
10 – Change of Variables in a Multiple Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
(i) Case where ϕ is linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
(ii) Approximation Lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
(iii) Change of variable formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
(iv) Stokes’ formula for a p-dimensional path . . . . . . . . . . . . . . . . 215
§ 4. Differential Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
11 – What is a Manifold ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
(i) The sphere in R
3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
(ii) The notion of a manifold of class C
r and dimension d . . . . 219
(iii) Some Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
(iv) Differentiable maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
12 – Tangent vectors and Differentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
(i) Vectors and tangent vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
(ii) Tangent vector to a curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
(iii) Differential of a map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
(iv) Partial differentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
(v) The manifold of tangent vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
13 – Submanifolds and Subimmersions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
(i) Submanifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
(i) The exterior derivative as an infinitesimal integral . . . . . . . . 192