Table of Contents of Volume III
VIII – Cauchy Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
§ 1. Integrals of Holomorphic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 – Preliminary Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 – The Problem of Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 – Homotopy Invariance of Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§ 2. Cauchy’s Integral Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 – Integral Formula for a Circle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5 – The Residue Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6 – Dixon’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7 – Integrals Depending Holomorphically on a Parameter . . . . . . . . 59
§ 3. Some Applications of Cauchy’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8 – Fourier Transform of a Rational Fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9 – Summation Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10 –The Gamma Function, The Fourier Transform of e
−x x
s−1
+
and the Hankel Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11 – The Dirichlet problem for the half-plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
12 – The Complex Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
13 – The Mellin Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
14 – Stirling’s Formula for the Gamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . 118
15 – The Fourier Transform of 1/cosh πx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
IX – Multivariate Differential and Integral Calculus . . . . . . . . . . 133
§ 1. Classical Differential Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
1 – Linear Algebra and Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
(i) Finite-dimensional vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
(ii) Tensor notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2 – Differential Calculus of n Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
(i) Differential functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
(ii) Multivariate chain rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
(iii) Partial differentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
(iv) Diffeomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
(v) Immersions, submersions, subimmersions . . . . . . . . . . . . . . . 155
3 – Calculations in Local Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
V
VIII – Cauchy Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
§ 1. Integrals of Holomorphic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 – Preliminary Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 – The Problem of Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 – Homotopy Invariance of Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§ 2. Cauchy’s Integral Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 – Integral Formula for a Circle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5 – The Residue Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6 – Dixon’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7 – Integrals Depending Holomorphically on a Parameter . . . . . . . . 59
§ 3. Some Applications of Cauchy’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8 – Fourier Transform of a Rational Fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9 – Summation Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10 –The Gamma Function, The Fourier Transform of e
−x x
s−1
+
and the Hankel Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11 – The Dirichlet problem for the half-plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
12 – The Complex Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
13 – The Mellin Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
14 – Stirling’s Formula for the Gamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . 118
15 – The Fourier Transform of 1/cosh πx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
IX – Multivariate Differential and Integral Calculus . . . . . . . . . . 133
§ 1. Classical Differential Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
1 – Linear Algebra and Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
(i) Finite-dimensional vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
(ii) Tensor notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2 – Differential Calculus of n Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
(i) Differential functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
(ii) Multivariate chain rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
(iii) Partial differentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
(iv) Diffeomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
(v) Immersions, submersions, subimmersions . . . . . . . . . . . . . . . 155
3 – Calculations in Local Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
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