Table of Contents of Volume III
VII
(ii) Submanifolds defined by a subimmersion . . . . . . . . . . . . . . . . 239
(iii) One-Parameter Subgroups of a Torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
(iv) Submanifolds of a Cartesian space : tangent vectors . . . . . . 246
(v) Riemann spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
14 – Vector Fields and Differential Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
15 – Vector Fields and Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
(i) Reduction to an integral equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
(ii) Existence of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
(iii) Uniqueness of the solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
(iv) Dependence on initial conditions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
(v) Matrix exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
16 – Differential Forms on a Manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
17 – Integration of Differentiable Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
(i) Orientable manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
(ii) Integration of differential forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
18 – Stokes’ Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
X – The Riemann Surface of an Algebraic Function . . . . . . . . . . . 275
1 – Riemann Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
2 – Algebraic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
3 – Coverings of a Topological Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
(i) Definition of a covering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
(ii) Sections of a covering space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
(iii) Path-lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
(iv) Coverings of a simply connected space . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
(v) Coverings of a pointed disc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
4 – The Riemann Surface of an Algebraic Function . . . . . . . . . . . . . 297
(i) Global uniform branches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
(ii) Definition of a Riemann surface ˆ
X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
(iii) The algebraic function F(z) as a meromorphic function
on ˆ
X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
(iv) Connectedness of ˆ
X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
(v) Meromorphic functions on ˆ
X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
(vi) The purely algebraic point of view . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Table of Contents of Volume I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Table of Contents of Volume II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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(ii) Submanifolds defined by a subimmersion . . . . . . . . . . . . . . . . 239
(iii) One-Parameter Subgroups of a Torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
(iv) Submanifolds of a Cartesian space : tangent vectors . . . . . . 246
(v) Riemann spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
14 – Vector Fields and Differential Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
15 – Vector Fields and Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
(i) Reduction to an integral equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
(ii) Existence of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
(iii) Uniqueness of the solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
(iv) Dependence on initial conditions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
(v) Matrix exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
16 – Differential Forms on a Manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
17 – Integration of Differentiable Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
(i) Orientable manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
(ii) Integration of differential forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
18 – Stokes’ Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
X – The Riemann Surface of an Algebraic Function . . . . . . . . . . . 275
1 – Riemann Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
2 – Algebraic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
3 – Coverings of a Topological Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
(i) Definition of a covering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
(ii) Sections of a covering space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
(iii) Path-lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
(iv) Coverings of a simply connected space . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
(v) Coverings of a pointed disc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
4 – The Riemann Surface of an Algebraic Function . . . . . . . . . . . . . 297
(i) Global uniform branches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
(ii) Definition of a Riemann surface ˆ
X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
(iii) The algebraic function F(z) as a meromorphic function
on ˆ
X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
(iv) Connectedness of ˆ
X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
(v) Meromorphic functions on ˆ
X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
(vi) The purely algebraic point of view . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Table of Contents of Volume II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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