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Pollution at rnospher ique
Es t- ce efficace?
3. Le petit calcul formel qui suit permet de proposer un e methode plus
puiss ante. Soit (., .) Ie produit scalaire de fonctions defini par la den sit e p :
U ,g) = II pfgdxdt .
Le modele de disp ersion definit un op er ateur lineaire NI qui s'applique
au terme source, tel que C s = NIS . On a alors aisement
J(S) = (M S , e) = ( S , MT e) ,
ou I'on utili se form ellement la notion de tran spo see (adjoint) d 'une matrice. Comme J(S) = (S, \7s J) , on a don e par identifi cation \7s J = M T e,
ce qui perm et de calculer dir ect ement Ie gradient .
On va donner a present un sens au modele adjoint e ----+ NIT e. On se donne
un champ C*. En integrant l'equation de disper sion multipliee par pC*,
proposer une equ ation d 'evolu tion pour C* (la variable adjointe) afin qu e
J(S) = (C* , S ) = JJ pC*S dxdt .
Indications : utilis er massivement l'in t egration par parties en negligean t
tous les t ermes de « bord » (nul s via des condit ions sur C* ) et l'equ ation
de cont inuite pour la densite p.
4. Comment er. Est-il possible de reutiliser Ie modele initi al pour calculer
C * ? Conclure pour Ie calcul des sensibilites,
Reponse :
1. Cs est un e fonction lineair e de S , J I'est done auss i.
2. On a direct em ent
11 p( x , t )\7 s J ssi«,t) dxdt = J(S + oS) - J(S)
= 11 p(x , t) e(x , t ) CbS(X, t) dxdt ,
avec CbS = CSHS - Cs qui verifie Ie modele de dispersion (linca ire ).
Cette approche n 'est pas tres puissante, car on ne ca lcule pas directement
\7s J . On sa it just e evaluer, pour chaque per turb ation ss, II p\7 s J ssdxdt,
en resolvant a chaque fois Ie modele. Autrem ent dit , apres discretisation , si on
a n m aille s au sol d 'emi asion s po ssible s, il faudra n ca lculs pour avoir \7 s J (une
eva luation du modele par com posa nte) !
3. On a, en integrant par parties,
(C *, S) = 11 pC * (~~ + V\7 C - ~diV (pK \7C ) + AC) d xdt
= 11 (-a(~~*)C - di v(pVC*)C - Cd iv (pK\7 C* ) + PAC* C) dxdt ,
Pollution at rnospher ique
Es t- ce efficace?
3. Le petit calcul formel qui suit permet de proposer un e methode plus
puiss ante. Soit (., .) Ie produit scalaire de fonctions defini par la den sit e p :
U ,g) = II pfgdxdt .
Le modele de disp ersion definit un op er ateur lineaire NI qui s'applique
au terme source, tel que C s = NIS . On a alors aisement
J(S) = (M S , e) = ( S , MT e) ,
ou I'on utili se form ellement la notion de tran spo see (adjoint) d 'une matrice. Comme J(S) = (S, \7s J) , on a don e par identifi cation \7s J = M T e,
ce qui perm et de calculer dir ect ement Ie gradient .
On va donner a present un sens au modele adjoint e ----+ NIT e. On se donne
un champ C*. En integrant l'equation de disper sion multipliee par pC*,
proposer une equ ation d 'evolu tion pour C* (la variable adjointe) afin qu e
J(S) = (C* , S ) = JJ pC*S dxdt .
Indications : utilis er massivement l'in t egration par parties en negligean t
tous les t ermes de « bord » (nul s via des condit ions sur C* ) et l'equ ation
de cont inuite pour la densite p.
4. Comment er. Est-il possible de reutiliser Ie modele initi al pour calculer
C * ? Conclure pour Ie calcul des sensibilites,
Reponse :
1. Cs est un e fonction lineair e de S , J I'est done auss i.
2. On a direct em ent
11 p( x , t )\7 s J ssi«,t) dxdt = J(S + oS) - J(S)
= 11 p(x , t) e(x , t ) CbS(X, t) dxdt ,
avec CbS = CSHS - Cs qui verifie Ie modele de dispersion (linca ire ).
Cette approche n 'est pas tres puissante, car on ne ca lcule pas directement
\7s J . On sa it just e evaluer, pour chaque per turb ation ss, II p\7 s J ssdxdt,
en resolvant a chaque fois Ie modele. Autrem ent dit , apres discretisation , si on
a n m aille s au sol d 'emi asion s po ssible s, il faudra n ca lculs pour avoir \7 s J (une
eva luation du modele par com posa nte) !
3. On a, en integrant par parties,
(C *, S) = 11 pC * (~~ + V\7 C - ~diV (pK \7C ) + AC) d xdt
= 11 (-a(~~*)C - di v(pVC*)C - Cd iv (pK\7 C* ) + PAC* C) dxdt ,