6. Vers la simu lation numerique
321
En ecriture vectorielle (par abus de notation, n designs le vecteur de composant es n i) , on obtient done dn /dt = A(n)n - diag(Bn)n OU l'on a note
[A (n )n]i = n
T A in. Les matrices (A i) i et B peuvent etre pr eca lcu lees .
2. La methode s'etend aisemcnt a l'ensemble de la GDE. II faut com pleter l'algor ithme en utilisan t un schema d'integration en temps, probablement im plicite du fait de la raideur de la condensation. Un e methode de splitting peut
et re ou non ap pliquee po ur les trois termes sources (coagulat ion , condensat ion / evaporation , nucleation) .
Ce cadre est a priori plus puissant que les m ethodes section nelles , car il per met
d 'avoir une description fonctionnelle de n(m , t) : dans un e methode sectionnelle,
on d isp ose seu lement des valeurs numeriques aux points de discretisation (m i) i
(et non po ur m quelconque) .
Pour en savoir plus ([31]) :
E. Debry, B. Sportisse. Numerical simulation of t he General Dynamics Equation
(GDE) for aerosols wit h two collocation metho ds . Appl. Num er. Ma th., 457 :885898, 2007
Problema 6.2 (Modele adjoint pour l'equation d e dispersion)
L' object if de ce prob lems est d' illustrer la notion de mo dele adjoint sur un cas
simp le (lineaire) . On considere la dispersion d' un traceur passif (radionucleide) .
Sa fract ion molaire verifie
8C
1
~ + V \7C = -div (pK\7C) - ,\C + S
ut
P
ou 8 est un terme source ponctuel. Le coefficient ,\ decrit to us les processus
de perte lineaires (lessivage, filiation) . On suppose de plus que C( t = 0) = a et
que \7C = a au bard du domaine spatial Sl . L' intervalle de te mps est [0, T ].
P our mar quer la depend an ce de C en 8 , on notera C s la solut ion de I'equ at ion de dispersio n. On parlera de mode le direct (pour une source donnee, on
calcule la concentration). On cherc he alors a et udi er une observable de Cs ,
J(8) = JJ e(x, t)p(x, t)Cs(x , t) dxdt ,
avec e(x , t) une fonct ion d 'echant illonnage en temps et en espace. L'integration
est effectuee sur Sl x [0,T ]. J pe ut etre une mesur e en un point a un inst ant
don ne, ou un e valeur moyenne .
1. Montrer que J est une fonction lineaire de 8 .
2. On veut calcu ler la sensibilit e de J aux emissions (par exemple pour
realiser des inversions). Comment calculer \7s -l , defini pour to ut cha mp
de perturbation des emissions, 88, par
J(8 + (8) = J(8) + JJ p(x, t) \7s J 88(x , t) dxdt ?
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En ecriture vectorielle (par abus de notation, n designs le vecteur de composant es n i) , on obtient done dn /dt = A(n)n - diag(Bn)n OU l'on a note
[A (n )n]i = n
T A in. Les matrices (A i) i et B peuvent etre pr eca lcu lees .
2. La methode s'etend aisemcnt a l'ensemble de la GDE. II faut com pleter l'algor ithme en utilisan t un schema d'integration en temps, probablement im plicite du fait de la raideur de la condensation. Un e methode de splitting peut
et re ou non ap pliquee po ur les trois termes sources (coagulat ion , condensat ion / evaporation , nucleation) .
Ce cadre est a priori plus puissant que les m ethodes section nelles , car il per met
d 'avoir une description fonctionnelle de n(m , t) : dans un e methode sectionnelle,
on d isp ose seu lement des valeurs numeriques aux points de discretisation (m i) i
(et non po ur m quelconque) .
Pour en savoir plus ([31]) :
E. Debry, B. Sportisse. Numerical simulation of t he General Dynamics Equation
(GDE) for aerosols wit h two collocation metho ds . Appl. Num er. Ma th., 457 :885898, 2007
Problema 6.2 (Modele adjoint pour l'equation d e dispersion)
L' object if de ce prob lems est d' illustrer la notion de mo dele adjoint sur un cas
simp le (lineaire) . On considere la dispersion d' un traceur passif (radionucleide) .
Sa fract ion molaire verifie
8C
1
~ + V \7C = -div (pK\7C) - ,\C + S
ut
P
ou 8 est un terme source ponctuel. Le coefficient ,\ decrit to us les processus
de perte lineaires (lessivage, filiation) . On suppose de plus que C( t = 0) = a et
que \7C = a au bard du domaine spatial Sl . L' intervalle de te mps est [0, T ].
P our mar quer la depend an ce de C en 8 , on notera C s la solut ion de I'equ at ion de dispersio n. On parlera de mode le direct (pour une source donnee, on
calcule la concentration). On cherc he alors a et udi er une observable de Cs ,
J(8) = JJ e(x, t)p(x, t)Cs(x , t) dxdt ,
avec e(x , t) une fonct ion d 'echant illonnage en temps et en espace. L'integration
est effectuee sur Sl x [0,T ]. J pe ut etre une mesur e en un point a un inst ant
don ne, ou un e valeur moyenne .
1. Montrer que J est une fonction lineaire de 8 .
2. On veut calcu ler la sensibilit e de J aux emissions (par exemple pour
realiser des inversions). Comment calculer \7s -l , defini pour to ut cha mp
de perturbation des emissions, 88, par
J(8 + (8) = J(8) + JJ p(x, t) \7s J 88(x , t) dxdt ?