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Po llution atrnospherique
Problemas se rapportant au chapitre 6
Probleme 6.1 (Methodes variationnelles pour la GDE)
L'objet de ce probleme est d 'introduire les methodes variation nelles pour la
reso lution de la GDE. On se rest reint a l'equ at ion de coag ulation pour la distribution en nombre (avec un seuil de nucleation mo = 0),
aa
n = ~ i" K(m, m - m)n(m, t)n(m - m; t)dm
t
2 Jo
- n(m, t) 1
m
K(m, m)n(m , t)dm
t:.
= f (n , m , t ) .
Soit V un espace de fonct ions de m , muni d' un produit sca laire approp rie (., .) .
On definit alors la form ulation faibl e en effectuant le produit scalaire par des
fonctions tests v :
V'VE V, \~: ,v)=U(n,m,t) ,v) .
La solution nu merique va etre cherchee comme la projection de la solution sur
un sous-espace de V de dimension finie N, VN , dont une base est don nee par
les fonctions (L 1(m) , ... , L N(m)) , soit
j =N
IIn (m , t ) = L n
j (t)Lj(m) .
j =l
Si les fonctions Lj(m) sont des fonctions polynomiales par morceau x , on parle
de methodes des elements finis ; si elles sont definies sur [0,00[, on parle de
methodes spectra les.
1. On et udie un e methode de collocation spectrale. On se donne une discretisation (mi) i=l , N des tailles. On pr end comme foncti ons de base les
polynomes de Lagrange : L j est alors de deg re N et verifie L j (mi) = O ij .
Donner le systeme d'EDO que verifie (njk
2. Comment comp lete r l'algorithme et l'et endre a la GDE?
R epons e :
1. Les fonctions tests v qu i pe r mettent de calculer les degres de libert e n i (t) sont
les fonctions de Dirac vi (m ) = 8(m - m i) et on obtient aisement
di N N
[1r
m
]
d~ = L L nit (t)n
h (t) "2 i o ' K (in , m , - in) Lit (in)L h iin, - in) din
J1 = 1J2 =1
,
v
'
A i. .
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Po llution atrnospherique
Problemas se rapportant au chapitre 6
Probleme 6.1 (Methodes variationnelles pour la GDE)
L'objet de ce probleme est d 'introduire les methodes variation nelles pour la
reso lution de la GDE. On se rest reint a l'equ at ion de coag ulation pour la distribution en nombre (avec un seuil de nucleation mo = 0),
aa
n = ~ i" K(m, m - m)n(m, t)n(m - m; t)dm
t
2 Jo
- n(m, t) 1
m
K(m, m)n(m , t)dm
t:.
= f (n , m , t ) .
Soit V un espace de fonct ions de m , muni d' un produit sca laire approp rie (., .) .
On definit alors la form ulation faibl e en effectuant le produit scalaire par des
fonctions tests v :
V'VE V, \~: ,v)=U(n,m,t) ,v) .
La solution nu merique va etre cherchee comme la projection de la solution sur
un sous-espace de V de dimension finie N, VN , dont une base est don nee par
les fonctions (L 1(m) , ... , L N(m)) , soit
j =N
IIn (m , t ) = L n
j (t)Lj(m) .
j =l
Si les fonctions Lj(m) sont des fonctions polynomiales par morceau x , on parle
de methodes des elements finis ; si elles sont definies sur [0,00[, on parle de
methodes spectra les.
1. On et udie un e methode de collocation spectrale. On se donne une discretisation (mi) i=l , N des tailles. On pr end comme foncti ons de base les
polynomes de Lagrange : L j est alors de deg re N et verifie L j (mi) = O ij .
Donner le systeme d'EDO que verifie (njk
2. Comment comp lete r l'algorithme et l'et endre a la GDE?
R epons e :
1. Les fonctions tests v qu i pe r mettent de calculer les degres de libert e n i (t) sont
les fonctions de Dirac vi (m ) = 8(m - m i) et on obtient aisement
di N N
[1r
m
]
d~ = L L nit (t)n
h (t) "2 i o ' K (in , m , - in) Lit (in)L h iin, - in) din
J1 = 1J2 =1
,
v
'
A i. .
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