(6.59)
300
Po llution atrnospherique
Finalem ent, N(t) = N(O) j(l + t j T) avec T = 2j(K aN(0)) comme temps caracte ristique . La coagulation te nd a faire decroit re Ie no mb re des par ti cul es. Dans
des cas analytiques plus generaux, on utilise classiquement la transformee de
Laplace pour calculer les distributions .
2. Le flux \[I verifie
8 \[1 = f(m) 8n = - f (m ) 8\[1 .
8t
8t
8m
On definit les cour bes caract erist iques
~7 = f (m ) = Am
1 /
3 , m(O) = ma ,
soit (m? / 3(t) = (ma)2/ 3 + 2At j3 . II est di rect de verifier qu e \[I est conserve Ie
long des caracteristiques. On a do ne m~/ 3 x na(ma) = m
1 /
3 x n(m , t) avec iiu,
la cond ition initiale de la ca racteristique qui passe a t en m , soit
(
( 2/ 3
j )3/2 ) 1/ 3
n(m ,t) =n a ((m 2 / 3 -2At j3) 3/2)
m
-~At3
Le calcul est legerem ent plus difficile en condensation (car il necessite de se
donner une condition aux limi t es en m = 0, don nee par un flux de nu cleati on ).
6.3.2 Coagulation
Coefficients d e p artition
On donne ici, pour simplifi er la presentation, seulement les equat ions pour
la distribution en nom br e (equation de Smoluchowski, [145]). L'integration de
l'equ ation (5.7) du cha pitre 5 (en ne cons iderant que la coag ulation) cond uit a
dNj
1 j
j
.
n /,
-
(t ) = - ~ ~ x: . NllNjz - Nj ~ X Nj, .
dt
2 L.J L.J JI)2
L.J JJ 1
j, =l jz =l
j , =l
Les coefficients Xj,j2 sont les composantes essent ielles des method es sectionnelles pour la coagulat ion. 11s decrivent la fraction des aerosols issus de la coagulation des sections ]1 et ]2 , qui est localises dans la section] (figure 6.12).
X j,j 2 est defini en somrnant sur l'ensemble des sections : X j,j2 = L;:~" Xj,j2'
On se refere a [32] pour un e synthese des met hod es exist antes et un travail
de clarification rigo ure use , les approches etant en general fort ement heuristi ques . Le point-ole est le choix du schema de fermet ure ut ilise pour decrire a
priori la forme de la dist ribut ion a l'int erieur de chaque section.
Integra tion en t emps
Da ns un second te mps, le systeme d 'EDO est integra par un schema numerique d'integration en temps. Cela ne pr esente pas de difficult e specifique et
des methodes explicites peuvent etre utilisees.
300
Po llution atrnospherique
Finalem ent, N(t) = N(O) j(l + t j T) avec T = 2j(K aN(0)) comme temps caracte ristique . La coagulation te nd a faire decroit re Ie no mb re des par ti cul es. Dans
des cas analytiques plus generaux, on utilise classiquement la transformee de
Laplace pour calculer les distributions .
2. Le flux \[I verifie
8 \[1 = f(m) 8n = - f (m ) 8\[1 .
8t
8t
8m
On definit les cour bes caract erist iques
~7 = f (m ) = Am
1 /
3 , m(O) = ma ,
soit (m? / 3(t) = (ma)2/ 3 + 2At j3 . II est di rect de verifier qu e \[I est conserve Ie
long des caracteristiques. On a do ne m~/ 3 x na(ma) = m
1 /
3 x n(m , t) avec iiu,
la cond ition initiale de la ca racteristique qui passe a t en m , soit
(
( 2/ 3
j )3/2 ) 1/ 3
n(m ,t) =n a ((m 2 / 3 -2At j3) 3/2)
m
-~At3
Le calcul est legerem ent plus difficile en condensation (car il necessite de se
donner une condition aux limi t es en m = 0, don nee par un flux de nu cleati on ).
6.3.2 Coagulation
Coefficients d e p artition
On donne ici, pour simplifi er la presentation, seulement les equat ions pour
la distribution en nom br e (equation de Smoluchowski, [145]). L'integration de
l'equ ation (5.7) du cha pitre 5 (en ne cons iderant que la coag ulation) cond uit a
dNj
1 j
j
.
n /,
-
(t ) = - ~ ~ x: . NllNjz - Nj ~ X Nj, .
dt
2 L.J L.J JI)2
L.J JJ 1
j, =l jz =l
j , =l
Les coefficients Xj,j2 sont les composantes essent ielles des method es sectionnelles pour la coagulat ion. 11s decrivent la fraction des aerosols issus de la coagulation des sections ]1 et ]2 , qui est localises dans la section] (figure 6.12).
X j,j 2 est defini en somrnant sur l'ensemble des sections : X j,j2 = L;:~" Xj,j2'
On se refere a [32] pour un e synthese des met hod es exist antes et un travail
de clarification rigo ure use , les approches etant en general fort ement heuristi ques . Le point-ole est le choix du schema de fermet ure ut ilise pour decrire a
priori la forme de la dist ribut ion a l'int erieur de chaque section.
Integra tion en t emps
Da ns un second te mps, le systeme d 'EDO est integra par un schema numerique d'integration en temps. Cela ne pr esente pas de difficult e specifique et
des methodes explicites peuvent etre utilisees.