6. Vers la simulation numerique
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• les methodes variationnelles dan s lesqu elles les distributions sont decemposees sur des bases de fonct ions (element s finis ou collocation spectrale ;
probl erne 6.1) .
On a fait le choix de pr esent er les methodes resolues, car les problemes numeriques a traiter sont plu s delicat s qu e pour un modele modal , un des poin t s-cles
etant la represent ation de la distribution en t aille. E nfin, on met tra l'a ccent sur
les methodes sect ionnelles, plu s classiqu es et plu s ro bustes.
On considere don e que les dist ributions d 'a erosols sont discretisees en un
nombre fini de sections (on parl e aussi parfoi s de bin s dan s la t erminologie
anglo-saxonne ), disons tu; L'object if est alors de calculer Qi et s» ,les valeurs
integrees sur la sect ion j des dist ributio ns, res pectivement de la concentration
pour l'espece X i et du nombre de par ticules par uni te de volume.
On utilise generalement un splitting de la coagulation et de la cond ensation/ evaporation, ce qui justifie une pr esentation distinct e des deux pro cessus.
La nucleation est , par ailleurs , aisee a int egr er (un simple t erme source ). L'e xercice 6.8 illustre, a l'aid e de solut ions analytiques pour des cas academiques , les
propriet es dyn amiques des pro cessus.
Exercice 6.8 (Solutions analytiques de la GDE)
La GDE admet des solut ions analytiques dan s des cas academiques,
1. On se place dan s le cas d 'un noyau de coag ulation constant , K« , en variabl e de volume v . L'equ ation de coag ulation est alors
8 n(v t )
1
1
v
1
00
8 ' = -K o n (u , t )n (v - u, t )du - Kon (v , t )
n( u , t )du .
t
2
°
0
Calculer l'evoluti on du nombre t otal d' aero sols N(t). Commenter.
2. On considere a pr esent l'equation de condensation /evaporation pour la
distribution en variable de masse m,
8 n( m, t ) 8 [I (m )n (m, t )]
8t
+
8m
= 0 , n(m , O) = n o(m) .
On se place dan s le cas d 'un noyau de condensat ion I (m) = Am 1 / 3 (le
t au x de gross issement depend lineairement du diametre) . Resoud re en
evaporation (A < 0).
Indication : passer d 'abord en variabl e 1IJ = I (m )n (flux) pui s int egrer le
long des caracteristiques.
R eponse :
1. En int egr an t l'equ ation de coag ulat ion, on a dN (t )/d t = - (Ko/ 2)N 2 , car
1
00
l
v
n (v - u , t)n(u , t)du = (1
00
n(u , t)dU) 2 = N(t)2 .
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• les methodes variationnelles dan s lesqu elles les distributions sont decemposees sur des bases de fonct ions (element s finis ou collocation spectrale ;
probl erne 6.1) .
On a fait le choix de pr esent er les methodes resolues, car les problemes numeriques a traiter sont plu s delicat s qu e pour un modele modal , un des poin t s-cles
etant la represent ation de la distribution en t aille. E nfin, on met tra l'a ccent sur
les methodes sect ionnelles, plu s classiqu es et plu s ro bustes.
On considere don e que les dist ributions d 'a erosols sont discretisees en un
nombre fini de sections (on parl e aussi parfoi s de bin s dan s la t erminologie
anglo-saxonne ), disons tu; L'object if est alors de calculer Qi et s» ,les valeurs
integrees sur la sect ion j des dist ributio ns, res pectivement de la concentration
pour l'espece X i et du nombre de par ticules par uni te de volume.
On utilise generalement un splitting de la coagulation et de la cond ensation/ evaporation, ce qui justifie une pr esentation distinct e des deux pro cessus.
La nucleation est , par ailleurs , aisee a int egr er (un simple t erme source ). L'e xercice 6.8 illustre, a l'aid e de solut ions analytiques pour des cas academiques , les
propriet es dyn amiques des pro cessus.
Exercice 6.8 (Solutions analytiques de la GDE)
La GDE admet des solut ions analytiques dan s des cas academiques,
1. On se place dan s le cas d 'un noyau de coag ulation constant , K« , en variabl e de volume v . L'equ ation de coag ulation est alors
8 n(v t )
1
1
v
1
00
8 ' = -K o n (u , t )n (v - u, t )du - Kon (v , t )
n( u , t )du .
t
2
°
0
Calculer l'evoluti on du nombre t otal d' aero sols N(t). Commenter.
2. On considere a pr esent l'equation de condensation /evaporation pour la
distribution en variable de masse m,
8 n( m, t ) 8 [I (m )n (m, t )]
8t
+
8m
= 0 , n(m , O) = n o(m) .
On se place dan s le cas d 'un noyau de condensat ion I (m) = Am 1 / 3 (le
t au x de gross issement depend lineairement du diametre) . Resoud re en
evaporation (A < 0).
Indication : passer d 'abord en variabl e 1IJ = I (m )n (flux) pui s int egrer le
long des caracteristiques.
R eponse :
1. En int egr an t l'equ ation de coag ulat ion, on a dN (t )/d t = - (Ko/ 2)N 2 , car
1
00
l
v
n (v - u , t)n(u , t)du = (1
00
n(u , t)dU) 2 = N(t)2 .