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P ollution at rnospheri que
Donnees : pour l'advection horizontale, V ~ 5 m s-1, ~x ~ 10 km ; pour l'advect ion verti cale, V ~ 0.1 cm S - 1 , ~x ~ 50 m; dan s les deux cas, ~t ~ 900 s.
R eponsc :
1. On remplace e7 par un e solution cont inue e(xi, tn) dan s la definiti on du sche ma
et on effectue un developpem ent de Taylor du residu en negligean t les termes
d 'ordre 2,
n
( ae
DC)
1 ( a
2
e
a
2e )
TJi ~
at + v ax + "2 .6.tat2 - V.6.x ax2 .
L'EDP obte nue p our un residu nul est l'EDP qui approc he Ie mi eux Ie sche ma
numerique. A l'ordre 1, on retrouve evidem me nt I'equati on d 'advecti on. A
l'o rdre 2, on obti ent des te r mes su ppleme nt.aires. Si ae/at + V ae/ ax = 0, il
est dir ect de verifier (en deri vant independamment par rapport a x et par rap -
por t a t puis en ega lant les resul t ats) qu e l'on a auss i a 2e /at 2 = V 2 a 2 e/ ax 2.
Si ae/at + V ae/ ax = O(.6.t , .6.x ), ce resultat rest e valabl e a O(.6.t , .6.x ) pr es.
Finalem ent , Ie residu devient , en negligeant les te rmes d 'ordre 2,
TJ
n = (Dc + v ae) _ V .6.x(l_ a) a
2e
,
at
ax
2
ax 2 '
~
avec a = V .6.t / .6.x . On re trouve l'EDP pr opo see,
2. Cette EDP comp or te un t erme de diffusion : c'est la diffu sion numerique, donnee par K n u m . Notons que la diffusion numerique est logiquem ent plu s for t e
pour des discretisations grossieres (.6. x grand) . P ar ailleurs, un e equation de
diffusion necessit e un e cons t ante de diffu sion p osit ive pour etre stable (sinon ,
les gradients s'amplifieraient ) : on a donc a < 1 (conditi on CF L) .
A I'echelle continent ale, on a p our l' advecti on horizont ale K n u m ~ 10
4 m
2 S -1 et
pour l'ad vection ver t ica le K n u m ~ 101 m
2 S -1 (a comparer avec les valeurs de
K z de l'ordre de 1 a 10 m
2 S -1) . La diffus ion numerique n 'est done importante
qu e pour le transport horizont al.
Diffusion numerique
Une des difficultes de la simulat ion de l'advection est la diffu sion numerique.
Celle-ci est en effet bien superieure a la diffusion physiqu e horizon tale, qui est
souvent negligee. Une conse quence direct e de l'interpolation realisee Ie long
de la cour be caracteristique est de diffuser les valeurs de la concentration sur
plu sieurs mailles.
Minirni ser la diffusion num erique est evidemrnent important pour les applications a la disper sion de polluants emis accidentellement par des sources
industrielles pon ctuelles. Les champs de concent rat ions se caracterisent alors
par de fort s gra dients : il y a un nuage de polluan t s dan s un e at mosphere
« propre » (voir la figure 7 dan s Ie chapit re introducti f) . Pour la pollution photo chimique, les champs sont naturellement beau coup plu s diffus. L' exer cice 6.6
int roduit un outil elega nt d 'interp ret ation de l'err eur de diffusion num erique.
P ollution at rnospheri que
Donnees : pour l'advection horizontale, V ~ 5 m s-1, ~x ~ 10 km ; pour l'advect ion verti cale, V ~ 0.1 cm S - 1 , ~x ~ 50 m; dan s les deux cas, ~t ~ 900 s.
R eponsc :
1. On remplace e7 par un e solution cont inue e(xi, tn) dan s la definiti on du sche ma
et on effectue un developpem ent de Taylor du residu en negligean t les termes
d 'ordre 2,
n
( ae
DC)
1 ( a
2
e
a
2e )
TJi ~
at + v ax + "2 .6.tat2 - V.6.x ax2 .
L'EDP obte nue p our un residu nul est l'EDP qui approc he Ie mi eux Ie sche ma
numerique. A l'ordre 1, on retrouve evidem me nt I'equati on d 'advecti on. A
l'o rdre 2, on obti ent des te r mes su ppleme nt.aires. Si ae/at + V ae/ ax = 0, il
est dir ect de verifier (en deri vant independamment par rapport a x et par rap -
por t a t puis en ega lant les resul t ats) qu e l'on a auss i a 2e /at 2 = V 2 a 2 e/ ax 2.
Si ae/at + V ae/ ax = O(.6.t , .6.x ), ce resultat rest e valabl e a O(.6.t , .6.x ) pr es.
Finalem ent , Ie residu devient , en negligeant les te rmes d 'ordre 2,
TJ
n = (Dc + v ae) _ V .6.x(l_ a) a
2e
,
at
ax
2
ax 2 '
~
avec a = V .6.t / .6.x . On re trouve l'EDP pr opo see,
2. Cette EDP comp or te un t erme de diffusion : c'est la diffu sion numerique, donnee par K n u m . Notons que la diffusion numerique est logiquem ent plu s for t e
pour des discretisations grossieres (.6. x grand) . P ar ailleurs, un e equation de
diffusion necessit e un e cons t ante de diffu sion p osit ive pour etre stable (sinon ,
les gradients s'amplifieraient ) : on a donc a < 1 (conditi on CF L) .
A I'echelle continent ale, on a p our l' advecti on horizont ale K n u m ~ 10
4 m
2 S -1 et
pour l'ad vection ver t ica le K n u m ~ 101 m
2 S -1 (a comparer avec les valeurs de
K z de l'ordre de 1 a 10 m
2 S -1) . La diffus ion numerique n 'est done importante
qu e pour le transport horizont al.
Diffusion numerique
Une des difficultes de la simulat ion de l'advection est la diffu sion numerique.
Celle-ci est en effet bien superieure a la diffusion physiqu e horizon tale, qui est
souvent negligee. Une conse quence direct e de l'interpolation realisee Ie long
de la cour be caracteristique est de diffuser les valeurs de la concentration sur
plu sieurs mailles.
Minirni ser la diffusion num erique est evidemrnent important pour les applications a la disper sion de polluants emis accidentellement par des sources
industrielles pon ctuelles. Les champs de concent rat ions se caracterisent alors
par de fort s gra dients : il y a un nuage de polluan t s dan s un e at mosphere
« propre » (voir la figure 7 dan s Ie chapit re introducti f) . Pour la pollution photo chimique, les champs sont naturellement beau coup plu s diffus. L' exer cice 6.6
int roduit un outil elega nt d 'interp ret ation de l'err eur de diffusion num erique.