(6.56)
6. Vers la simulation numerique
295
• un e erreur locale liee a l'erreur de discreti sation sur un pas de t emps
(fonc tion de l' ordre du schema) ;
• un e erreur globa le Me a la propaga tion des erreurs anterieures (don t le
comporte ment est donne par une et ude de st abilite).
L'erreur locale se calcule en remplacant dan s l'algori thme it eratif la solution
approchee ci par la solut ion exacte C(Xi, tn ). P ar exemple, pour le schema
upioitui (6.53) , le residu TJi perm et d 'evalu er l'err eur effect uee en un pa s de
te mps selon
C(Xi, tn+l ) - C(X i, t n ) V C( X i ' tn ) - C(X i -l' tn ) _ n
t6.t
+
t6.x
- TJi .
P ar developpement limit e, on obtient aisement TJi = O(t6.t) + O(t6.x) . Apr es
soustraction, l'err eur globa le ci = C( X i, tn) - ci verifie don e
(6.57)
(6.58)
ce qui fait clairement apparait re deux cont ributions a l'erreur. Une et ude de
stabilite (un e demon st ration est ega lement donnee, incid em ment , dans l'exercice 6.6) conduit a la cond ition de Courant-Friedrichs-L ewy (condition CF L),
a = ' i~t < 1.
Cet te condition est equivalente a la cont rainte de positi vit e de la solut ion ecr ite
sous la form e (6.55).
La condit ion CFL est d 'au t an t plu s penalisan t e pour le choix des pas de
te mps (t6.t < t6.x / lV l) que le champ de vit esse est eleve et sur t out que le
maillage est fin. En pr atique, la condit ion CFL est cont raigna nte pour les applications a peti te echelle (t6. x ~ 1 km a l'echelle regionale, t6.x ~ 10 km a
l'echelle conti nentale).
Exercice 6.6 (Diffusion numerique et condition CFL)
L'obj et de cet exercice est d 'etudier la stabilite et la diffusion num erique.
1. On se place dan s un cas monodimensionnel avec V constant. Montrer , en
utilisant un developp ement d 'ordre plu s eleve du residu TJ , qu e la solut ion
du schema upwind est un e approximat ion de l'EDP
Oc + V Oc = V t6.x (1 _ a) 02
C •
at ox
2
ox 2
2. Cette EDP est appelee l 'ED? equiualenie du schema: le comporte ment
du schema numerique est plu s pro che de celui de cet te E DP qu e de celui
de l'ad vection , les te rmes negliges etant d 'ordre 2. Comment er. Qu e vaut
la diffusion num erique a l'echelle cont inentale ?
6. Vers la simulation numerique
295
• un e erreur locale liee a l'erreur de discreti sation sur un pas de t emps
(fonc tion de l' ordre du schema) ;
• un e erreur globa le Me a la propaga tion des erreurs anterieures (don t le
comporte ment est donne par une et ude de st abilite).
L'erreur locale se calcule en remplacant dan s l'algori thme it eratif la solution
approchee ci par la solut ion exacte C(Xi, tn ). P ar exemple, pour le schema
upioitui (6.53) , le residu TJi perm et d 'evalu er l'err eur effect uee en un pa s de
te mps selon
C(Xi, tn+l ) - C(X i, t n ) V C( X i ' tn ) - C(X i -l' tn ) _ n
t6.t
+
t6.x
- TJi .
P ar developpement limit e, on obtient aisement TJi = O(t6.t) + O(t6.x) . Apr es
soustraction, l'err eur globa le ci = C( X i, tn) - ci verifie don e
(6.57)
(6.58)
ce qui fait clairement apparait re deux cont ributions a l'erreur. Une et ude de
stabilite (un e demon st ration est ega lement donnee, incid em ment , dans l'exercice 6.6) conduit a la cond ition de Courant-Friedrichs-L ewy (condition CF L),
a = ' i~t < 1.
Cet te condition est equivalente a la cont rainte de positi vit e de la solut ion ecr ite
sous la form e (6.55).
La condit ion CFL est d 'au t an t plu s penalisan t e pour le choix des pas de
te mps (t6.t < t6.x / lV l) que le champ de vit esse est eleve et sur t out que le
maillage est fin. En pr atique, la condit ion CFL est cont raigna nte pour les applications a peti te echelle (t6. x ~ 1 km a l'echelle regionale, t6.x ~ 10 km a
l'echelle conti nentale).
Exercice 6.6 (Diffusion numerique et condition CFL)
L'obj et de cet exercice est d 'etudier la stabilite et la diffusion num erique.
1. On se place dan s un cas monodimensionnel avec V constant. Montrer , en
utilisant un developp ement d 'ordre plu s eleve du residu TJ , qu e la solut ion
du schema upwind est un e approximat ion de l'EDP
Oc + V Oc = V t6.x (1 _ a) 02
C •
at ox
2
ox 2
2. Cette EDP est appelee l 'ED? equiualenie du schema: le comporte ment
du schema numerique est plu s pro che de celui de cet te E DP qu e de celui
de l'ad vection , les te rmes negliges etant d 'ordre 2. Comment er. Qu e vaut
la diffusion num erique a l'echelle cont inentale ?