•
6. Vers la simulation numerique
293
•
x
Figur e 6.9 - Schema aux differ en ces finies pour un problem e d 'advection. Le
flux f i-l / 2 est defini sur l'interface x i-l/ 2 ent re la maill e de centre Xi-l et la
maill e de centre Xi.
v c(x - 6. x /2 , t ). Cet te form e garant it bien evidem me nt la conser vation de la
masse.
Un premier schema evident , en supposant V > 0, est de faire l'approxim at ion pour le flux f i- l/ 2 = V Ci - l. 11 est equivalent d 'approcher par differences
finies le gr adi ent spatia l selon dc/dx( x) ~ (c(x) - c(x- 6.x)) / 6. x . Cela definit le
sche ma upwind, decenire ou enc ore donor-cell (chacune de s t erminologies etant
evide nte),
(6.51)
Un e seconde methode est d 'approcher le flux entrant au niv eau de la facette
en Xi- l/2 par f i-l /2 = V( Ci-l + ci )/ 2 ou , de mani ere equivalente, d 'u tiliser
le developpernen t de Taylo r dc/dx (x) ~ (c(x + 6. x ) - c(x - 6. x ))/ (26. x ). On
ob ti en t alors le schema centre,
dc
c 1 - C '+l
- ' = V ,' .
dt
26. x
(6.52)
Discretisat.ion temporelle
On notera ci la solut ion au t emps t « et en Xi. P ar exem ple, pour le flux
upio itui defini preced ernmen t , plu sieurs di scr eti sa tions en tem ps son t po ssibl es,
parmi lesquelles le schem a upwin d ex plicite ob tenu avec un sche ma d 'Euler
ex plicite,
(6.53)
Notons qu e l'on aurait pu direct em en t proposer ce schema de discr eti sa tion
en di scretisant de mani ere conjointe t emps et espace (on parle alors souvent de
sche ma DST pour direct space time) . Un e mani er e simple de proceder est de
parti r de la relation exacte le lon g des cour bes caracterist ique s,
(6.54)
6. Vers la simulation numerique
293
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Figur e 6.9 - Schema aux differ en ces finies pour un problem e d 'advection. Le
flux f i-l / 2 est defini sur l'interface x i-l/ 2 ent re la maill e de centre Xi-l et la
maill e de centre Xi.
v c(x - 6. x /2 , t ). Cet te form e garant it bien evidem me nt la conser vation de la
masse.
Un premier schema evident , en supposant V > 0, est de faire l'approxim at ion pour le flux f i- l/ 2 = V Ci - l. 11 est equivalent d 'approcher par differences
finies le gr adi ent spatia l selon dc/dx( x) ~ (c(x) - c(x- 6.x)) / 6. x . Cela definit le
sche ma upwind, decenire ou enc ore donor-cell (chacune de s t erminologies etant
evide nte),
(6.51)
Un e seconde methode est d 'approcher le flux entrant au niv eau de la facette
en Xi- l/2 par f i-l /2 = V( Ci-l + ci )/ 2 ou , de mani ere equivalente, d 'u tiliser
le developpernen t de Taylo r dc/dx (x) ~ (c(x + 6. x ) - c(x - 6. x ))/ (26. x ). On
ob ti en t alors le schema centre,
dc
c 1 - C '+l
- ' = V ,' .
dt
26. x
(6.52)
Discretisat.ion temporelle
On notera ci la solut ion au t emps t « et en Xi. P ar exem ple, pour le flux
upio itui defini preced ernmen t , plu sieurs di scr eti sa tions en tem ps son t po ssibl es,
parmi lesquelles le schem a upwin d ex plicite ob tenu avec un sche ma d 'Euler
ex plicite,
(6.53)
Notons qu e l'on aurait pu direct em en t proposer ce schema de discr eti sa tion
en di scretisant de mani ere conjointe t emps et espace (on parle alors souvent de
sche ma DST pour direct space time) . Un e mani er e simple de proceder est de
parti r de la relation exacte le lon g des cour bes caracterist ique s,
(6.54)