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P ollution at rnospherique
c
t = O
x - V t
v
t > 0
x
Figure 6.8 - Adve ction d 'un t raceur dan s un champ de vent suppose constant.
Le profil des concent rations init iales est conse rve au cours du temps.
simplifi er le champ de vent const ant , on a directemen t : e(x, t ) = eo(x - Vt) (figur e 6.8) . De maniere equivalent e, la solution est constant e le long des cour bes
caracteristiques definies par dX j dt = V . Avec e(t ) = e (X(t), t) , on verifie
de
Be Be dX 0
-
= - + - - - =
.
dt
at Ox dt
(6.49)
Dans le cas general (V non const an t) , la bonne variable a considerer est le
rapport de mel ange C don t l'equation d 'ad vection est oC j at + V . \lC = O.
Sur cet te base, on distingue generalernent les methodes lagrangiennes (ou
semi-lagrangiennes) , fondees sur cette propriete, et les methodes euleriennes qui
resolvent direct ement l'EDP. Les methodes lag rangiennes ont le desavan t age de
ne pas conserver la masse. On pr esente dan s la suite les approc hes euleriennes
classiques, avec l'ex emple des schemas aux differences finies.
6.2.3.2 Quelques schernas aux differences finies
On se donne un e discretisation de l'axe des x selon (Xi) avec un pas de
maill age suppose constant .0.x (figure 6.9) . On discretise le temps selon une
suit e (t n ) avec un pas de t emps .0.t egalement suppose constant.
Discretisation spatiale
On va dans un pr emi er temps const ruire des schem as numeriques avec la
methode des lign es, en discreti sant d 'abord le probl erne en espace avant d 'in t egrer en temps l'EDO qui en resulte, On notera par abus ei(t ) ~ e(xi' t) , l'indice
i correspondant ici a un point de maille et non a une espece (on advect e en
parallele les diverses espe ces).
Une form e conservative du schema numerique est definie par
f i -l / 2 - f Hl /2
.0.x
(6.50)
ou f i- l / 2 approc he le flux (ent ran t) au niveau de la facett e Xi- l / 2, donne par
P ollution at rnospherique
c
t = O
x - V t
v
t > 0
x
Figure 6.8 - Adve ction d 'un t raceur dan s un champ de vent suppose constant.
Le profil des concent rations init iales est conse rve au cours du temps.
simplifi er le champ de vent const ant , on a directemen t : e(x, t ) = eo(x - Vt) (figur e 6.8) . De maniere equivalent e, la solution est constant e le long des cour bes
caracteristiques definies par dX j dt = V . Avec e(t ) = e (X(t), t) , on verifie
de
Be Be dX 0
-
= - + - - - =
.
dt
at Ox dt
(6.49)
Dans le cas general (V non const an t) , la bonne variable a considerer est le
rapport de mel ange C don t l'equation d 'ad vection est oC j at + V . \lC = O.
Sur cet te base, on distingue generalernent les methodes lagrangiennes (ou
semi-lagrangiennes) , fondees sur cette propriete, et les methodes euleriennes qui
resolvent direct ement l'EDP. Les methodes lag rangiennes ont le desavan t age de
ne pas conserver la masse. On pr esente dan s la suite les approc hes euleriennes
classiques, avec l'ex emple des schemas aux differences finies.
6.2.3.2 Quelques schernas aux differences finies
On se donne un e discretisation de l'axe des x selon (Xi) avec un pas de
maill age suppose constant .0.x (figure 6.9) . On discretise le temps selon une
suit e (t n ) avec un pas de t emps .0.t egalement suppose constant.
Discretisation spatiale
On va dans un pr emi er temps const ruire des schem as numeriques avec la
methode des lign es, en discreti sant d 'abord le probl erne en espace avant d 'in t egrer en temps l'EDO qui en resulte, On notera par abus ei(t ) ~ e(xi' t) , l'indice
i correspondant ici a un point de maille et non a une espece (on advect e en
parallele les diverses espe ces).
Une form e conservative du schema numerique est definie par
f i -l / 2 - f Hl /2
.0.x
(6.50)
ou f i- l / 2 approc he le flux (ent ran t) au niveau de la facett e Xi- l / 2, donne par