6. Vers la simulation numerique
291
Reponse :
On a direct em ent
d x
dy
E dt = y - x , E dt = x - y - Ey .
Avec Ie lumping u = x + Y, on a, dan s la base (u, y),
du
dy
dt = - y , E dt = u - 2y - Ey .
Asympto tiquem ent , pour E ---+ 0, I'equati on d 'evolution de y peu t et re rernplacee par
la cont rainte algebriquc y = u / 2, et Ie sys te me devien t
du
u
u
dt = -"2 ' y = "2 '
Le modele sous-jacent est ce qu e I'on appelle un modele reduit. II ne decrit plus qu e
la dyn amique des especes lent es (ici u) , les espec es rapid es (y) etant a I'equilibre.
Toutes les t rajecto ires corresp ondant a des condit ions initiales differentes converge nt
rapidement vers Ie modele reduit defini par x = y = u / 2 (figure 6.7) .
II est a noter qu e Ie changeme nt de base (avec Ie lumpin g d 'espe ce) est ca pital.
L' an alyse asymptotique sur Ie sys t cme initi al aurait conduit a rem placer les deux
equations d'evolution par un e cont rainte algebrique identique pour les deux especes
(x = y , equivalente a y = u / 2). Le sys tc me aurait He alors sons-dete r m ine (une
equat ion pour deux variabl es) et on n 'aurai t pas pu conc1ure.
P our en savoir plus ([132]) :
B. Sportisse, R . Djouad . Reducti on of chem ical kin etics in air pollution modellin g.
J. Com p.P hys ., 164 :354-376, 2000
6.2.3 Schemas d 'advection
Une deuxierne brique import an t e d 'un CT M est l'ad vection,
~~ + div(V c) = o.
(6.48)
Elle est d 'au t an t plu s importan te pour un t raceur passif comm e un radionucleide, qui ne par ti cipe pas a priori a des reactions chimiques.
Les especes sont pri ses en compte un e par un e et on considere don e l'advect ion d'une seule espece. Cet te etape est difficile a resoudre, car des prop rietes
qu alit ativ es strictes doi vent etre respecte es numeriquement , comm e la conservat ion de la masse, la positivi te ou la monotonie (le respect des maxima) , ces
deux dernieres propriet es etant equivalentes dan s le cas lineaire.
6 .2 .3.1 Approches lagrangiennes versus approches euleriennes
La m ethode des caracter isti ques appliquee a (6.48) perm et d 'avoir direct ement une solution exacte. P our une cond it ion init iale co(x ), en supposant pour
291
Reponse :
On a direct em ent
d x
dy
E dt = y - x , E dt = x - y - Ey .
Avec Ie lumping u = x + Y, on a, dan s la base (u, y),
du
dy
dt = - y , E dt = u - 2y - Ey .
Asympto tiquem ent , pour E ---+ 0, I'equati on d 'evolution de y peu t et re rernplacee par
la cont rainte algebriquc y = u / 2, et Ie sys te me devien t
du
u
u
dt = -"2 ' y = "2 '
Le modele sous-jacent est ce qu e I'on appelle un modele reduit. II ne decrit plus qu e
la dyn amique des especes lent es (ici u) , les espec es rapid es (y) etant a I'equilibre.
Toutes les t rajecto ires corresp ondant a des condit ions initiales differentes converge nt
rapidement vers Ie modele reduit defini par x = y = u / 2 (figure 6.7) .
II est a noter qu e Ie changeme nt de base (avec Ie lumpin g d 'espe ce) est ca pital.
L' an alyse asymptotique sur Ie sys t cme initi al aurait conduit a rem placer les deux
equations d'evolution par un e cont rainte algebrique identique pour les deux especes
(x = y , equivalente a y = u / 2). Le sys tc me aurait He alors sons-dete r m ine (une
equat ion pour deux variabl es) et on n 'aurai t pas pu conc1ure.
P our en savoir plus ([132]) :
B. Sportisse, R . Djouad . Reducti on of chem ical kin etics in air pollution modellin g.
J. Com p.P hys ., 164 :354-376, 2000
6.2.3 Schemas d 'advection
Une deuxierne brique import an t e d 'un CT M est l'ad vection,
~~ + div(V c) = o.
(6.48)
Elle est d 'au t an t plu s importan te pour un t raceur passif comm e un radionucleide, qui ne par ti cipe pas a priori a des reactions chimiques.
Les especes sont pri ses en compte un e par un e et on considere don e l'advect ion d'une seule espece. Cet te etape est difficile a resoudre, car des prop rietes
qu alit ativ es strictes doi vent etre respecte es numeriquement , comm e la conservat ion de la masse, la positivi te ou la monotonie (le respect des maxima) , ces
deux dernieres propriet es etant equivalentes dan s le cas lineaire.
6 .2 .3.1 Approches lagrangiennes versus approches euleriennes
La m ethode des caracter isti ques appliquee a (6.48) perm et d 'avoir direct ement une solution exacte. P our une cond it ion init iale co(x ), en supposant pour