6. Vers la simulation numcrique
289
6.2.2.4 Syst.ernes raides
On considere a present des systemes physiquement stables (c' est Ie cas de
la cinetiquc chimique atmospherique) : les valeurs propres de J sont alors de
partie reelle negative et Ie systeme linearise s'ecrit de/dt == -lAic.
La condition de stabilite s'ecrit 1/(1 + IA~tl) < 1 pour Ie schema d'Euler
implicite, ce qui est bien entendu toujours vcrifie. Le schema est dit inconditionnellement stable.
La condition de stabilite est 1(1 - IA~tl)1 < 1 pour Ie schema d'Euler explicite, soit IA~tl ::; 2. Le choix du pas de temps ~t est donc contraint par les
temps caracteristiques du systeme : ~t < 2I IAI·
Les systemes raides se caracterisent par une grande dispersion des echelles
de temps: des processus sont tres rapides (IAI » 1) tandis que certains sont
tres lents (IAI rv 1). La condition de stabilite est evidcrnmcnt la plus restrictive
pour les processus rapides : pour un schema explicite, Ie pas de temps d'integration est donc contraint a etre de l'ordre de grandeur des plus petits pas
de temps caracteristiques. Cela n'est pas realisable en pratique (par exemple
en cinetiquc chimique, les processus les plus rapides sont bien inferieurs a une
seconde) et des schemas implicites, generalisations du schema d'Euler implicite,
doivent etre utilises.
Des schemas numcriques faciles a mettre en ceuvre restent encore tres populaires parmi les modelisateurs, Ils ont l'avantage d'etre aises a implementer
et sont apparemment rapides, en comparaison des methodes implicites (qui
necessitent l'inversion de matrices de grande taille). Neanmoins, les comparaisons rigoureuses (c'est-a-dlrc en tracant des diagrammes temps calcul Zprecision,
par exemple [121]) ont toujours montre, qu'a precision dontiee. ces schemas
u'etaient pas performants. On les rappelle donc ici a simple titre d'exhaustivito.
On reprend la forme «production/consommation» de I'ovolution de la
concentration de l'espece chimique Xi (section 4.1.4). Le terme source est alors
Ii (c) == Pi (c) - L, (c)Ci. Les schemas asymptotiques sont fondes sur une hypothese de lineorisation du terme source. En considerant en premiere approximation que Pi et L, sont constants sur un intervalle de temps de longueur ~t, on
a aiscment
pn
c~+l = exp( -L~~t)c~ + (1 - exp( -Lf~t)) L~ ,
~
(6.47)
en notant cr == Ci(t n), c" == c(t n), Lr == Li(c n) et Pin == Pi(C n).
Le schema QSSA (pour quasi steady state assumption, section 4.1.4) revient
a partitionner les especes selon leur temps de vie T:f' == (Lr) -1 en un jeu
d'cspcces lentes et un jeu d'cspcces rapides. On approche, par exemple, pour
T:f' I ~t « 1, c~+1 == Pin It».
En pratique, de nombreuses implementations existent avec un recours frequent a des regles ad hoc. L'exercice 6.5 donne une illustration de l'approche
289
6.2.2.4 Syst.ernes raides
On considere a present des systemes physiquement stables (c' est Ie cas de
la cinetiquc chimique atmospherique) : les valeurs propres de J sont alors de
partie reelle negative et Ie systeme linearise s'ecrit de/dt == -lAic.
La condition de stabilite s'ecrit 1/(1 + IA~tl) < 1 pour Ie schema d'Euler
implicite, ce qui est bien entendu toujours vcrifie. Le schema est dit inconditionnellement stable.
La condition de stabilite est 1(1 - IA~tl)1 < 1 pour Ie schema d'Euler explicite, soit IA~tl ::; 2. Le choix du pas de temps ~t est donc contraint par les
temps caracteristiques du systeme : ~t < 2I IAI·
Les systemes raides se caracterisent par une grande dispersion des echelles
de temps: des processus sont tres rapides (IAI » 1) tandis que certains sont
tres lents (IAI rv 1). La condition de stabilite est evidcrnmcnt la plus restrictive
pour les processus rapides : pour un schema explicite, Ie pas de temps d'integration est donc contraint a etre de l'ordre de grandeur des plus petits pas
de temps caracteristiques. Cela n'est pas realisable en pratique (par exemple
en cinetiquc chimique, les processus les plus rapides sont bien inferieurs a une
seconde) et des schemas implicites, generalisations du schema d'Euler implicite,
doivent etre utilises.
Des schemas numcriques faciles a mettre en ceuvre restent encore tres populaires parmi les modelisateurs, Ils ont l'avantage d'etre aises a implementer
et sont apparemment rapides, en comparaison des methodes implicites (qui
necessitent l'inversion de matrices de grande taille). Neanmoins, les comparaisons rigoureuses (c'est-a-dlrc en tracant des diagrammes temps calcul Zprecision,
par exemple [121]) ont toujours montre, qu'a precision dontiee. ces schemas
u'etaient pas performants. On les rappelle donc ici a simple titre d'exhaustivito.
On reprend la forme «production/consommation» de I'ovolution de la
concentration de l'espece chimique Xi (section 4.1.4). Le terme source est alors
Ii (c) == Pi (c) - L, (c)Ci. Les schemas asymptotiques sont fondes sur une hypothese de lineorisation du terme source. En considerant en premiere approximation que Pi et L, sont constants sur un intervalle de temps de longueur ~t, on
a aiscment
pn
c~+l = exp( -L~~t)c~ + (1 - exp( -Lf~t)) L~ ,
~
(6.47)
en notant cr == Ci(t n), c" == c(t n), Lr == Li(c n) et Pin == Pi(C n).
Le schema QSSA (pour quasi steady state assumption, section 4.1.4) revient
a partitionner les especes selon leur temps de vie T:f' == (Lr) -1 en un jeu
d'cspcces lentes et un jeu d'cspcces rapides. On approche, par exemple, pour
T:f' I ~t « 1, c~+1 == Pin It».
En pratique, de nombreuses implementations existent avec un recours frequent a des regles ad hoc. L'exercice 6.5 donne une illustration de l'approche