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Pollution atrnospherique
L'application de ce schema iterat.if a la solution exacte, c(t n ) , definit Ie
residu 77n (on parle aussi d'erreur de troncature),
car la solution exacte n'a aucune raison de verifier l'algorithme discrete Apres
developpernent de Taylor, on 0 btient aiscment
(6.42)
avec d
2cjdt2
== (af jac) f+af jato Un point-ole est bien entendu la propagation
de cette erreur lors des pas de temps ulterieurs, On note En == C(t n) -cn l'erreur
globale (resultant des erreurs locales antericurcs et de leur propagation). Pour
Ie cas lineaire (ou linearise) f (c) == AC, on 0 btient en retranchant (6.40) a (6.41)
(6.43)
En notant R(z) == (1 + (1 - B)z)j(1 - Bz), l'erreur se propage donc selon
(6.44)
avec b n == (1 - BA~t)-l77n. II y a de manierc logique deux contributions a
l'erreur :
• une contribution locale (liee a l'erreur de troncature), b n, qui correspond
a l'erreur effectuee sur un pas de temps, en supposant la solution exacte
a t..,':
• une contribution liee a la propagation des erreurs precedentes, donnee
par R(A~t), et qui definit la stabilite ou non du schema.
Avec une terminologie evidente, R( z) est appelee la fonction de stobilite. C' est
une fonction de la variable complexe z E CC, les valeurs propres de J et.ant en
toute generalite complexes. On a alors directement
i=n-l
En == (R(A~t))nEO + 2:: (R(A~t))ibn_l_i.
i=O
(6.45)
La contrainte de stabilite doit garantir que l'erreur reste borneo. Elle est donc
donnee par IR(A~t)1 < 1. On obtient alors
i=n-l
IEnl < IEol + 2:: Ibil·
i=O
(6.46)
Pour une erreur locale bi == 0 (~tP+
1 ) (p == 1 ou p == 2 ici), on a donc avec
T == n~t une erreur controlcc, hors la partie relative aux conditions initiales,
par n x O(~tP+l) == T x O(~tP), ce qui illustre la perte d'ordre lors du passage
de l'erreur locale a l'erreur globale.
Pollution atrnospherique
L'application de ce schema iterat.if a la solution exacte, c(t n ) , definit Ie
residu 77n (on parle aussi d'erreur de troncature),
car la solution exacte n'a aucune raison de verifier l'algorithme discrete Apres
developpernent de Taylor, on 0 btient aiscment
(6.42)
avec d
2cjdt2
== (af jac) f+af jato Un point-ole est bien entendu la propagation
de cette erreur lors des pas de temps ulterieurs, On note En == C(t n) -cn l'erreur
globale (resultant des erreurs locales antericurcs et de leur propagation). Pour
Ie cas lineaire (ou linearise) f (c) == AC, on 0 btient en retranchant (6.40) a (6.41)
(6.43)
En notant R(z) == (1 + (1 - B)z)j(1 - Bz), l'erreur se propage donc selon
(6.44)
avec b n == (1 - BA~t)-l77n. II y a de manierc logique deux contributions a
l'erreur :
• une contribution locale (liee a l'erreur de troncature), b n, qui correspond
a l'erreur effectuee sur un pas de temps, en supposant la solution exacte
a t..,':
• une contribution liee a la propagation des erreurs precedentes, donnee
par R(A~t), et qui definit la stabilite ou non du schema.
Avec une terminologie evidente, R( z) est appelee la fonction de stobilite. C' est
une fonction de la variable complexe z E CC, les valeurs propres de J et.ant en
toute generalite complexes. On a alors directement
i=n-l
En == (R(A~t))nEO + 2:: (R(A~t))ibn_l_i.
i=O
(6.45)
La contrainte de stabilite doit garantir que l'erreur reste borneo. Elle est donc
donnee par IR(A~t)1 < 1. On obtient alors
i=n-l
IEnl < IEol + 2:: Ibil·
i=O
(6.46)
Pour une erreur locale bi == 0 (~tP+
1 ) (p == 1 ou p == 2 ici), on a donc avec
T == n~t une erreur controlcc, hors la partie relative aux conditions initiales,
par n x O(~tP+l) == T x O(~tP), ce qui illustre la perte d'ordre lors du passage
de l'erreur locale a l'erreur globale.