6. Vers la simulation numcrique
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Dans Ie cas d'un systeme non lineaire, un algorithme, en general iteratif,
doit etre utilise pour resoudre Ie systeme algebrique, On peut, par exemple,
chercher C n+l comme solution d'un problems de point fixe,
(6.35)
avec g(c) == C n + ~t f( c). L'algorithme de point fixe permet alors de definir une
suite ditcrations indicees par k selon
(6.36)
Apres convergence (pour k assez grand), on recupere une estimation de C n+l.
Si une seule iteration est appliquee, on retrouve Ie schema explicite.
Unc solution alternative est d'utiliser un algorithme de type Newton en
reccrivant Ie problems sous la forme de la recherche du zero d'une fonction,
(6.37)
avec g(c) == c - ~t f(c) - C n (par abus de notation, on conserve la notation g).
L'algorithme de Newton s'obtient alors en linearisant Ie problems avec pour
schema iterat.if
O - (k+l) r-;» (k ) 8g (k ) ( k+l
k )
- 9 cn+1 - 9 cn+1 + 8c cn+1 cn+1 - cn+1 ,
Avec 8g / 8c == 1 - ~t 8f / Be, on obtient
(1 - J(C~+l)~t) (c~tl - C~+l) == - (C~+l - ~t f(C~+l) - Cn) ,
(6.38)
(6.39)
OU J(C~+l) est la matrice jacobienne de f au point C~+l. Notons que pour
reduire les calculs on peut approcher cette matrice par J(c n ) , l'algorithme
necessitant alors l'inversion de 1 - J( cn)~t.
Pour un pas de temps fixe, une methode explicite est donc toujours plus
facile a mettre en ceuvre (et a cout calcul moindre) qu'une methode implicite.
Le choix d'un schema implicite plutot que d'un schema explicite est determine
par les contraintes de stabilite.
6.2.2.3 Precision et stabilite
Le choix du pas de temps est conditionne par l'analyse de l'erreur. Celle-ci
est en general menee sur des systemes lineaires, On ecrit les deux algorithmes
precedents sous la forme generique
(6.40)
ou e est un indicateur du degre d'implicitation. Si e == 0 (respectivement 1),
on retrouve la methode d'Euler explicite (respectivement implicite).
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Dans Ie cas d'un systeme non lineaire, un algorithme, en general iteratif,
doit etre utilise pour resoudre Ie systeme algebrique, On peut, par exemple,
chercher C n+l comme solution d'un problems de point fixe,
(6.35)
avec g(c) == C n + ~t f( c). L'algorithme de point fixe permet alors de definir une
suite ditcrations indicees par k selon
(6.36)
Apres convergence (pour k assez grand), on recupere une estimation de C n+l.
Si une seule iteration est appliquee, on retrouve Ie schema explicite.
Unc solution alternative est d'utiliser un algorithme de type Newton en
reccrivant Ie problems sous la forme de la recherche du zero d'une fonction,
(6.37)
avec g(c) == c - ~t f(c) - C n (par abus de notation, on conserve la notation g).
L'algorithme de Newton s'obtient alors en linearisant Ie problems avec pour
schema iterat.if
O - (k+l) r-;» (k ) 8g (k ) ( k+l
k )
- 9 cn+1 - 9 cn+1 + 8c cn+1 cn+1 - cn+1 ,
Avec 8g / 8c == 1 - ~t 8f / Be, on obtient
(1 - J(C~+l)~t) (c~tl - C~+l) == - (C~+l - ~t f(C~+l) - Cn) ,
(6.38)
(6.39)
OU J(C~+l) est la matrice jacobienne de f au point C~+l. Notons que pour
reduire les calculs on peut approcher cette matrice par J(c n ) , l'algorithme
necessitant alors l'inversion de 1 - J( cn)~t.
Pour un pas de temps fixe, une methode explicite est donc toujours plus
facile a mettre en ceuvre (et a cout calcul moindre) qu'une methode implicite.
Le choix d'un schema implicite plutot que d'un schema explicite est determine
par les contraintes de stabilite.
6.2.2.3 Precision et stabilite
Le choix du pas de temps est conditionne par l'analyse de l'erreur. Celle-ci
est en general menee sur des systemes lineaires, On ecrit les deux algorithmes
precedents sous la forme generique
(6.40)
ou e est un indicateur du degre d'implicitation. Si e == 0 (respectivement 1),
on retrouve la methode d'Euler explicite (respectivement implicite).