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Pollution atrnospherique
6.2.2.1 Definition des echelles de temps
Pour Ie systeme scalaire de/dt == AC (ici c E JR. correspond a une seule
cspcce), la solution est evidcrnmcnt de la forme c(t) == exp(At)C(O) et Ie temps
caracteristique est 1I A.
Pour un systeme lineaire, dc/dt == Ac, avec c E JR.n
e
(vecteur des concentrations), les temps caracteristiques sont definis par les inverses des valeurs propres
{Ai}i de la matrice A. On suppose pour simplifier que celle-ci est diagonalisable
dans JR., de valeurs propres non nulles.
Pour un systeme non lineaire, de/dt == f (c), Ie systeme linearise pour de
petites perturbations est donne par
d(c5c) _ 8f ~
dt - 8c uC,
(6.30)
avec 8 f I8c la matrice jacobienne du systeme, souvent notee J. Par extension,
les temps caracteristiques sont definis localement par les inverses des valeurs
propres de J.
6.2.2.2 Schernas implicites versus schernas explicites
Schernas explicites
L'algorithme de base est Ie schema d'Euler explicite (forward Euler). La
derivee en temps est approchec par une difference finie, et Ie terme source est
calcule explicitement au temps tn,
(6.31)
ce qui conduit au calcul iterat.if
(6.32)
(6.33)
Schernas implicites
Dans Ie schema d'Euler implicite (backward Euler), Ie terme source est evalue au temps t n +l ,
C n +l - C n - f(
)
~t
-
C n +l ·
On ne peut donc pas calculer directement C n +l qui est donne implicitement
comme la solution d'un systeme d'equations. Dans Ie cas d'un systeme lineaire,
avec f(c) == Jc, on obtient aiscment
(1 - J ~t)Cn+l == C n ,
(6.34)
avec 1 la matrice identite. La solution peut etre calculee modulo l'inversion de
la matrice 1 - J ~t.