6. Vers la simulation numcrique
285
On verra dans la section 6.2.2 que les modeles de cinetiquc chimique se
caracterisent par une grande dispersion des temps caracteristiques, Si T r est Ie
temps caracteristique des processus les plus rapides, les methodes numcriques
recherchees pour l'integration de la cinetiquc chimique (donc du sous-problemc
associc) vont toutes avoir pour objectif d'utiliser un pas de temps bien superieur
a T r (pour ne pas resoudre toutes les echcllcs). Cela est vrai a fortiori pour ~t,
qui definit la longueur de l'intervalle sur lequel l'integration a lieu. On est donc
toujours en pratique dans la configuration ~t/ T r » 1 !
On est ainsi loin du compte pour effectuer un developpernent limite. L'analyse d'erreur doit etre reprise de manierc plus prccautionneusc, notamment en
« filtrant » les processus les plus rapides ([130]). Deux resultats sont a retenir :
• l'ordre des methodes est parfois reduit (on parle classiquement de reduction d'ordre) et depend des temps caracteristiques des especes (les especes
rapides sont logiquement les plus irnpactees) ;
• la place des processus dans la sequence joue un role lorsque les processus
n'ont pas les memes temps caracteristiques, En pratique, l'advection et la
diffusion sont des processus lents tandis que la cinetiquc chimique comprend a la fois des processus lents et rapides. II vaut toujours mieux finir
par les processus les plus rapides qui contribuent a stabiliser Ie systeme.
6.2.2 Resolution des equations de la cinetique chimique
Unc brique essentielle d'un CTM est constituee par la resolution des equations de la cinetiquc chimique,
dc
dt ~ X(c, T, hv),
(6.28)
ou l'on a marque la dependance en la temperature pour les reactions thermiques, en Ie rayonnement pour les reactions photolytiques. Ce systeme d'equations differentielles ordinaires (EDO) se caracterise en general par sa grande
taille (une centaine d' especes typiquement), son caractere non lineaire (les equations sont cou plees) et la dispersion des echelles de temps.
Dans toute la suite, on va chercher a integrer un systeme d'EDO ecrit sous
la forme generique
dc
dt ~ f (c), c(0) ~ Co .
(6.29)
Les algorithmes proposes vont etre definis de manierc iterative. On suppose
qu'une solution numcrique (Ck)k=l, ...,n a ete calculee aux instants discrets
(tk)k=l, ...,n (l'indice correspond ici, par abus de notation, au temps et non a
l'cspecc). On cherche alors a calculer la solution C n+l au temps t n + l ~ t« + ~t
en fonction des solutions aux pas precedents (eventuellement seulement en fonction de c n ) . Dans cette section, ~t designe Ie pas de temps pour l'integration
de la cinetiquc chimique: on parle parfois de sous-cyclage (le pas de temps est
inferieur ou egal au pas de temps de splitting qui est Ie pas de temps d'une
iteration complete, impliquant tous les processus).
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On verra dans la section 6.2.2 que les modeles de cinetiquc chimique se
caracterisent par une grande dispersion des temps caracteristiques, Si T r est Ie
temps caracteristique des processus les plus rapides, les methodes numcriques
recherchees pour l'integration de la cinetiquc chimique (donc du sous-problemc
associc) vont toutes avoir pour objectif d'utiliser un pas de temps bien superieur
a T r (pour ne pas resoudre toutes les echcllcs). Cela est vrai a fortiori pour ~t,
qui definit la longueur de l'intervalle sur lequel l'integration a lieu. On est donc
toujours en pratique dans la configuration ~t/ T r » 1 !
On est ainsi loin du compte pour effectuer un developpernent limite. L'analyse d'erreur doit etre reprise de manierc plus prccautionneusc, notamment en
« filtrant » les processus les plus rapides ([130]). Deux resultats sont a retenir :
• l'ordre des methodes est parfois reduit (on parle classiquement de reduction d'ordre) et depend des temps caracteristiques des especes (les especes
rapides sont logiquement les plus irnpactees) ;
• la place des processus dans la sequence joue un role lorsque les processus
n'ont pas les memes temps caracteristiques, En pratique, l'advection et la
diffusion sont des processus lents tandis que la cinetiquc chimique comprend a la fois des processus lents et rapides. II vaut toujours mieux finir
par les processus les plus rapides qui contribuent a stabiliser Ie systeme.
6.2.2 Resolution des equations de la cinetique chimique
Unc brique essentielle d'un CTM est constituee par la resolution des equations de la cinetiquc chimique,
dc
dt ~ X(c, T, hv),
(6.28)
ou l'on a marque la dependance en la temperature pour les reactions thermiques, en Ie rayonnement pour les reactions photolytiques. Ce systeme d'equations differentielles ordinaires (EDO) se caracterise en general par sa grande
taille (une centaine d' especes typiquement), son caractere non lineaire (les equations sont cou plees) et la dispersion des echelles de temps.
Dans toute la suite, on va chercher a integrer un systeme d'EDO ecrit sous
la forme generique
dc
dt ~ f (c), c(0) ~ Co .
(6.29)
Les algorithmes proposes vont etre definis de manierc iterative. On suppose
qu'une solution numcrique (Ck)k=l, ...,n a ete calculee aux instants discrets
(tk)k=l, ...,n (l'indice correspond ici, par abus de notation, au temps et non a
l'cspecc). On cherche alors a calculer la solution C n+l au temps t n + l ~ t« + ~t
en fonction des solutions aux pas precedents (eventuellement seulement en fonction de c n ) . Dans cette section, ~t designe Ie pas de temps pour l'integration
de la cinetiquc chimique: on parle parfois de sous-cyclage (le pas de temps est
inferieur ou egal au pas de temps de splitting qui est Ie pas de temps d'une
iteration complete, impliquant tous les processus).