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Po llution atrnospheriqu e
peut montrer Ie result at suiva nt (l'exer cice 6.4 t raite du cas de I'ad vect ion et
de la chimi e) .
'I'heorerne 6 .2 .1
Les couples suivants de processus n 'ont pas d 'erreur de splitting :
• l 'advection et 1a chimi e si 1e vent est a divergen ce nu lle et si 1a chimi e ne
depend pas de 1a position spatia1e;
• 1a diffusion et l 'ad vection si 1e vent et 1a diffusion ne depend ent pas de 1a
position spatia1e;
• 1a diffusion et 1a chimie si 1a chirnie est lineeire et ne depend pas de 1a
position spatia1e.
La non-d epend an ce spatiale est localem ent cre dible. En revanche, l'hypothese
de chimie lineaire est associ ee a une cinetique monornoleculaire, ce qui n' est
evidemment pas realiste . L'erreur de splitting va done essentiellement provenir
du decouplage ent re chimi e et diffusion verticale. Le traitement des conditions
aux limit es est egalement une source pot ent ielle d 'erreurs.
Exercice 6.4 (Modele d 'advection-reaction)
On neglige la diffusion et on suppose que la cinetique chimique ne dep end pas de
la position spatiale. Le modele de dispersion devient donc po ur la concentration
ac
at + div(Vc) = x(c).
En supposant que divV = 0, montrer qu e I'on peut separer les processus.
Ce result at pe ut et re interprets en termes de splitting. II fournit ega lement la
base des mod eles de boit es lagran gienn es (po ur lesqu els on reso ut la cinetique
chimique Ie long des caracterist iques, dX/ dt = V) .
Reponse:
On not e e(t ) = c(X (t ), t) la solution Ie long de la caracteristi que X(t) . On a directement
de _ oe dX oe _ oe V oe _ e
dt - ot + dt ox - ot + ox - x( ),
car div(Vc) = V · V c com me div V = O. La solution exacte pe ut don e se calculer par
splitting en integrant la chimie Ie long de la courbe caracteristique. Cela montre qu e
I'erreur de splitting est nu lle.
R eduction d 'ordre
L'analyse d 'err eur est fondee sur des developp ement s asy mptotiques en D.t .
En prat ique, Ie pas de te mps n 'est evidemrnent jamais pro che de 0 : il vaut
ty piquement quelques centaines de secon des pour un CTM. P arl er de « petits»
pas de temps necessite d 'avoir une rnesur e de refer ence et d 'ad imensionn er par
rapport aux temps caracteristiques du modele.
Po llution atrnospheriqu e
peut montrer Ie result at suiva nt (l'exer cice 6.4 t raite du cas de I'ad vect ion et
de la chimi e) .
'I'heorerne 6 .2 .1
Les couples suivants de processus n 'ont pas d 'erreur de splitting :
• l 'advection et 1a chimi e si 1e vent est a divergen ce nu lle et si 1a chimi e ne
depend pas de 1a position spatia1e;
• 1a diffusion et l 'ad vection si 1e vent et 1a diffusion ne depend ent pas de 1a
position spatia1e;
• 1a diffusion et 1a chimie si 1a chirnie est lineeire et ne depend pas de 1a
position spatia1e.
La non-d epend an ce spatiale est localem ent cre dible. En revanche, l'hypothese
de chimie lineaire est associ ee a une cinetique monornoleculaire, ce qui n' est
evidemment pas realiste . L'erreur de splitting va done essentiellement provenir
du decouplage ent re chimi e et diffusion verticale. Le traitement des conditions
aux limit es est egalement une source pot ent ielle d 'erreurs.
Exercice 6.4 (Modele d 'advection-reaction)
On neglige la diffusion et on suppose que la cinetique chimique ne dep end pas de
la position spatiale. Le modele de dispersion devient donc po ur la concentration
ac
at + div(Vc) = x(c).
En supposant que divV = 0, montrer qu e I'on peut separer les processus.
Ce result at pe ut et re interprets en termes de splitting. II fournit ega lement la
base des mod eles de boit es lagran gienn es (po ur lesqu els on reso ut la cinetique
chimique Ie long des caracterist iques, dX/ dt = V) .
Reponse:
On not e e(t ) = c(X (t ), t) la solution Ie long de la caracteristi que X(t) . On a directement
de _ oe dX oe _ oe V oe _ e
dt - ot + dt ox - ot + ox - x( ),
car div(Vc) = V · V c com me div V = O. La solution exacte pe ut don e se calculer par
splitting en integrant la chimie Ie long de la courbe caracteristique. Cela montre qu e
I'erreur de splitting est nu lle.
R eduction d 'ordre
L'analyse d 'err eur est fondee sur des developp ement s asy mptotiques en D.t .
En prat ique, Ie pas de te mps n 'est evidemrnent jamais pro che de 0 : il vaut
ty piquement quelques centaines de secon des pour un CTM. P arl er de « petits»
pas de temps necessite d 'avoir une rnesur e de refer ence et d 'ad imensionn er par
rapport aux temps caracteristiques du modele.