6. Vers la simulation numerique
283
n 'et ant verifies qu e si A l A 2 = A 2 A I.
On rappe lle Ie developpem ent limite ex p( A.6.t ) = I + A .6.t + A
2 .6.t
2 / 2 + O (.6. t
3 )
oil I est la ma t rice iden tite. II est alors aise de verifier par un developpem en t limite
en .6.t qu e Ie te rme dominan t de I'err eur de splitting, C( t n+l) - Cu -l-L, est , dan s Ie
cas d 'une non- commutation, en (A I A 2 - A 2 A I) .6.t
2/2 . Cela corr espond it un e erreur
locale (effectuee en un pas de t emps) .
Une aut re methode, parfoi s appelee Source Splitting, est souvent utilisee.
L'in te gration du pr emier pro cessus ne conduit pas a modifier la condit ion init iale, mais a ajouter un te rme source suppleme ntaire dan s l'integr ation du
second processus,
dc** _ A ** c*(,6.t ) - Cn
** ( )
dt - 2 C +
,6.t
, C
a = Cn .
(6.27)
Cette methode est souvent recomm andee lorsqu e le pro cessus Al est lent et le
processus A 2 comprend des dynamiques rapides (voir la sous-section 6.2.1.3 et
la notion de reduction d 'ordre) .
Splitting de second ordre
Une maniere simple d 'avoir une methode de splitting plu s pr ecise (de « monte r en ordre ») est evidemment de supprimer le terme dominan t en O(,6.t
2 ) . 11
suffit pour cela de calculer une solut ion avec la sequence Al pui s A 2 (disons
CA I -A 2 ) pui s avec la sequence a ordre inver se (dison s CA 2 -A I ). L' erreur locale
associee a la solution (CA l - A 2 + CA 2 - A I ) / 2 est alors d 'ord re 4.
Cette appro che necessite de resoudre en tout quai re sous-pr oblernes. Une
mani ere plu s efficace de pro ceder est donnee par ce que l'on appelle souvent
le splitting de Strang
l . Le defau t de syrnet rie de la methode du pr emier ordre
est evite en int egran t sucessivement Al sur [0, ,6.t/2 ]' A 2 sur [0, ,6.t] pui s de
nou veau Al sur [0, ,6.t/ 2]. Cha que pro cessus est done integre sur un intervalle
de te mps [0, ,6.t].
La solution ob tenu e est c n +! = ex p(A I ,6.t/ 2) ex p(A 2 ,6.t ) ex p(A I ,6.t / 2)c n .
On mon t re par developp ernent limit e qu e l'erreur locale est d 'ordre 3 en ,6.t,
ce qui definit un e methode d 'ord re 2. L'avan tage est que seuleme nt trois sousproblemes ont ete resolus.
6 .2 .1.3 Complements
Application a I'equat.ion de dispersion reactive
L'analyse d 'err eur est generalement effectuee pour des problemes lineaires.
L'ext ension au cas non lineair e est plu s t echnique et va bien au-dela de cet te
pr esentation ([79]). Neanmoins, les calculs se font aisement dan s le cas d 'une
equation d 'advcction-diffusion-reaction (I'equ a tion de dispersion reactive) et on
I E n l'honneur du m a th ern a ti cien americain G ilbert St ra ng .
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n 'et ant verifies qu e si A l A 2 = A 2 A I.
On rappe lle Ie developpem ent limite ex p( A.6.t ) = I + A .6.t + A
2 .6.t
2 / 2 + O (.6. t
3 )
oil I est la ma t rice iden tite. II est alors aise de verifier par un developpem en t limite
en .6.t qu e Ie te rme dominan t de I'err eur de splitting, C( t n+l) - Cu -l-L, est , dan s Ie
cas d 'une non- commutation, en (A I A 2 - A 2 A I) .6.t
2/2 . Cela corr espond it un e erreur
locale (effectuee en un pas de t emps) .
Une aut re methode, parfoi s appelee Source Splitting, est souvent utilisee.
L'in te gration du pr emier pro cessus ne conduit pas a modifier la condit ion init iale, mais a ajouter un te rme source suppleme ntaire dan s l'integr ation du
second processus,
dc** _ A ** c*(,6.t ) - Cn
** ( )
dt - 2 C +
,6.t
, C
a = Cn .
(6.27)
Cette methode est souvent recomm andee lorsqu e le pro cessus Al est lent et le
processus A 2 comprend des dynamiques rapides (voir la sous-section 6.2.1.3 et
la notion de reduction d 'ordre) .
Splitting de second ordre
Une maniere simple d 'avoir une methode de splitting plu s pr ecise (de « monte r en ordre ») est evidemment de supprimer le terme dominan t en O(,6.t
2 ) . 11
suffit pour cela de calculer une solut ion avec la sequence Al pui s A 2 (disons
CA I -A 2 ) pui s avec la sequence a ordre inver se (dison s CA 2 -A I ). L' erreur locale
associee a la solution (CA l - A 2 + CA 2 - A I ) / 2 est alors d 'ord re 4.
Cette appro che necessite de resoudre en tout quai re sous-pr oblernes. Une
mani ere plu s efficace de pro ceder est donnee par ce que l'on appelle souvent
le splitting de Strang
l . Le defau t de syrnet rie de la methode du pr emier ordre
est evite en int egran t sucessivement Al sur [0, ,6.t/2 ]' A 2 sur [0, ,6.t] pui s de
nou veau Al sur [0, ,6.t/ 2]. Cha que pro cessus est done integre sur un intervalle
de te mps [0, ,6.t].
La solution ob tenu e est c n +! = ex p(A I ,6.t/ 2) ex p(A 2 ,6.t ) ex p(A I ,6.t / 2)c n .
On mon t re par developp ernent limit e qu e l'erreur locale est d 'ordre 3 en ,6.t,
ce qui definit un e methode d 'ord re 2. L'avan tage est que seuleme nt trois sousproblemes ont ete resolus.
6 .2 .1.3 Complements
Application a I'equat.ion de dispersion reactive
L'analyse d 'err eur est generalement effectuee pour des problemes lineaires.
L'ext ension au cas non lineair e est plu s t echnique et va bien au-dela de cet te
pr esentation ([79]). Neanmoins, les calculs se font aisement dan s le cas d 'une
equation d 'advcction-diffusion-reaction (I'equ a tion de dispersion reactive) et on
I E n l'honneur du m a th ern a ti cien americain G ilbert St ra ng .