(6.25)
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P ollution at rnospher ique
de splitting utili sees vont don e chercher a minimiser cette erreur (I' erreur de
splitting) . Dan s Ie cas de processu s lineaires (!J( c) = Aj c avec A j un e matrice) ,
des solutions ana lyt iques existent pour les probl emes couple et decouple : l'erreur de splitt ing est , en gi' meral, simplement estirn ee dan s ce cas-la .
6.2 .1.2 Quelques methodes de splitting
Les methodes de splitting son t c1assiquement presentees pour Ie cas de deux
processus lineai res,
dc
dt = Al c + A2 c .
(6.24)
Soit C n la solution numerique calculee au temps tn. Les methodes de splitting
perm et ten t de ca1culer la solut ion num erique Cn+1 au te mps tn+l = t n + t6..t ou
t6..t est appele c1assiqu ement Ie pas de temps de splitt ing.
Splitting de premier ordre
La methode la plu s simple rev ient a int egrer de mani ere sequent ielle les
deu x processu s, par exemple Ie processus A l pui s Ie processus A 2 (I'ord re de la
sequence peu t etre inver se) . On a alors a resoudre sur un intervalle [0, t6..t],
dc* = Al c*
(0)
dt
, c
= cn ·
On obti ent un e solut ion interrnedi air e c*(t6..t) . La seconde etape est alors don nee
par la resolution sur [0, t6..t ] de
I **
~ -A **
dt -
2 c , c** (O) = c* (t6..t).
(6.26)
La solution a t6..t fournit Cn+1 = c** (t6..t).
II est aise de mont rer que I'err eur locale de splitti ng (celle realises en un pas
de t emps) est d 'ordre 2 en t6..t (exer cice 6.3) . En sommant sur I'intervalle de
temps d 'in te gr ation , cela genere un e erreur globale en O(t6..t) . On parl e alor s
logiquement de methode du pr emier ordre. On reviendra dan s la section 6.2.2
sur les notions d 'erreurs locale et globale.
Exercice 6.3 (Erreur de splitting)
Mont rer que I'err eur locale de splitting de premier ord re est en O(t6..t 2) .
Reponse :
On com pare la solution exacte C(tn +l ) et la solution numerique Cn +l,
ou ex p design e l'exponentielle de matrice. L' erreur est done associee it un defaut de
com mutation des ex pone nt ielles de mat ric es, l'egalit e
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P ollution at rnospher ique
de splitting utili sees vont don e chercher a minimiser cette erreur (I' erreur de
splitting) . Dan s Ie cas de processu s lineaires (!J( c) = Aj c avec A j un e matrice) ,
des solutions ana lyt iques existent pour les probl emes couple et decouple : l'erreur de splitt ing est , en gi' meral, simplement estirn ee dan s ce cas-la .
6.2 .1.2 Quelques methodes de splitting
Les methodes de splitting son t c1assiquement presentees pour Ie cas de deux
processus lineai res,
dc
dt = Al c + A2 c .
(6.24)
Soit C n la solution numerique calculee au temps tn. Les methodes de splitting
perm et ten t de ca1culer la solut ion num erique Cn+1 au te mps tn+l = t n + t6..t ou
t6..t est appele c1assiqu ement Ie pas de temps de splitt ing.
Splitting de premier ordre
La methode la plu s simple rev ient a int egrer de mani ere sequent ielle les
deu x processu s, par exemple Ie processus A l pui s Ie processus A 2 (I'ord re de la
sequence peu t etre inver se) . On a alors a resoudre sur un intervalle [0, t6..t],
dc* = Al c*
(0)
dt
, c
= cn ·
On obti ent un e solut ion interrnedi air e c*(t6..t) . La seconde etape est alors don nee
par la resolution sur [0, t6..t ] de
I **
~ -A **
dt -
2 c , c** (O) = c* (t6..t).
(6.26)
La solution a t6..t fournit Cn+1 = c** (t6..t).
II est aise de mont rer que I'err eur locale de splitti ng (celle realises en un pas
de t emps) est d 'ordre 2 en t6..t (exer cice 6.3) . En sommant sur I'intervalle de
temps d 'in te gr ation , cela genere un e erreur globale en O(t6..t) . On parl e alor s
logiquement de methode du pr emier ordre. On reviendra dan s la section 6.2.2
sur les notions d 'erreurs locale et globale.
Exercice 6.3 (Erreur de splitting)
Mont rer que I'err eur locale de splitting de premier ord re est en O(t6..t 2) .
Reponse :
On com pare la solution exacte C(tn +l ) et la solution numerique Cn +l,
ou ex p design e l'exponentielle de matrice. L' erreur est done associee it un defaut de
com mutation des ex pone nt ielles de mat ric es, l'egalit e