(6.4)
6. Vers la simulation numcrique
269
6.1.3 Modeles moyens et schemas de fermeture
Cette equation dcvolntion est valide au niveau « microscopique » mais n'est
pas applicable, telle quelle, pour des ecoulements turbulents. Comme on a pu Ie
voir au chapitre 3, il est en effet impossible de simuler l'ensemble des echelles en
trois dimensions et Ie recours a des approches de moyennisation est necessaire,
On suppose donc a present que les champs etudies se decomposcnt selon
W == (w) + w' avec (w) une grandeur moyenne et w' une fluctuation. Parmi
les principales proprietcs « demandees » a I'opcrateur de moyenne (que l'on ne
precise pas plus), on rappelle qu'il commute avec les opcrateurs de derivation
(en temps et en espace) et que (W') = o. Cette decomposition s'applique a la
fois aux concentrations (ou rapports de melange) et aux champs dynamiques.
De manierc directe, une telle decomposition appliquee a I'equation (6.1)
conduit aprcs moyennisation a
a~~i) + div( (V(x, t)) (Ci)) = div(Kmol ec \7 (Ci)) + (Xi(c, T(x, t), t))
+ (Si(X,t)) - (AiCi) - div ( (C~V')) ,
en utilisant (( c; + C~)) ( (V + V')) = (V) (Ci) + (c:V ').
Les termes lineaires sont transposes tels quels dans I'equation moyennee, Les
termes non lineaires (en I'occurrence quadratiques) font apparaitrc des correlations entre variables (une moyenne de produits de fluctuations). La fermeture
des equations moyennees consiste alors a exprimer ces correlations en fonction
des grandeurs resolues (les valeurs moyennes).
Les deux principaux termes a fermer sont Ie flux turbulent et Ie terme de
production chimique.
6.1.3.1 Flux turbulents
La moyennisation de I'equation de continuite pour l'espece Xi conduit a
l'introduction d'un terme de flux turbulent, non specific, associe au terme d'advection : div (c:V ').
La fermeture des equations est effectuee de manierc classique a I'aide de la
theorie du gradient (ou theorie K) qui revient aexprimer Ie flux turbulent d'une
quantite advectcc, a l'instar de la diffusion moleculaire, comme proportionnel
a I'oppose du gradient de la valeur moyennee (chapitre 3). Pour un champ W,
la paramctrisation est donc du type
/ / ')
w
\ wV == -Kturb(x, t)\l(w) ,
(6.5)
avec Kiurb la diffusion turbulente dependant de l'espace et du temps (en pratique donnee en fonction des champs dynamiques et de leurs gradients). L'application de cette paramctrisation a la concentration c; ou a la fraction molaire
6. Vers la simulation numcrique
269
6.1.3 Modeles moyens et schemas de fermeture
Cette equation dcvolntion est valide au niveau « microscopique » mais n'est
pas applicable, telle quelle, pour des ecoulements turbulents. Comme on a pu Ie
voir au chapitre 3, il est en effet impossible de simuler l'ensemble des echelles en
trois dimensions et Ie recours a des approches de moyennisation est necessaire,
On suppose donc a present que les champs etudies se decomposcnt selon
W == (w) + w' avec (w) une grandeur moyenne et w' une fluctuation. Parmi
les principales proprietcs « demandees » a I'opcrateur de moyenne (que l'on ne
precise pas plus), on rappelle qu'il commute avec les opcrateurs de derivation
(en temps et en espace) et que (W') = o. Cette decomposition s'applique a la
fois aux concentrations (ou rapports de melange) et aux champs dynamiques.
De manierc directe, une telle decomposition appliquee a I'equation (6.1)
conduit aprcs moyennisation a
a~~i) + div( (V(x, t)) (Ci)) = div(Kmol ec \7 (Ci)) + (Xi(c, T(x, t), t))
+ (Si(X,t)) - (AiCi) - div ( (C~V')) ,
en utilisant (( c; + C~)) ( (V + V')) = (V) (Ci) + (c:V ').
Les termes lineaires sont transposes tels quels dans I'equation moyennee, Les
termes non lineaires (en I'occurrence quadratiques) font apparaitrc des correlations entre variables (une moyenne de produits de fluctuations). La fermeture
des equations moyennees consiste alors a exprimer ces correlations en fonction
des grandeurs resolues (les valeurs moyennes).
Les deux principaux termes a fermer sont Ie flux turbulent et Ie terme de
production chimique.
6.1.3.1 Flux turbulents
La moyennisation de I'equation de continuite pour l'espece Xi conduit a
l'introduction d'un terme de flux turbulent, non specific, associe au terme d'advection : div (c:V ').
La fermeture des equations est effectuee de manierc classique a I'aide de la
theorie du gradient (ou theorie K) qui revient aexprimer Ie flux turbulent d'une
quantite advectcc, a l'instar de la diffusion moleculaire, comme proportionnel
a I'oppose du gradient de la valeur moyennee (chapitre 3). Pour un champ W,
la paramctrisation est donc du type
/ / ')
w
\ wV == -Kturb(x, t)\l(w) ,
(6.5)
avec Kiurb la diffusion turbulente dependant de l'espace et du temps (en pratique donnee en fonction des champs dynamiques et de leurs gradients). L'application de cette paramctrisation a la concentration c; ou a la fraction molaire