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Pour compléter ce résultat, un graphique Scree plot (fig. 4.29) est proposé par XLSTAT. Car pour
choisir les axes principaux Cattell (1966, 1977) propose d’étudier la courbe de décroissance des
valeurs propres. L’idée est de détecter les « coudes » (les «cassures ») signalant un changement de
structure. Cette méthode est appelé critère du coude.
Cette méthode est un peu compliquée à mettre en œuvre parce qu’elle est justement soumise à notre
appréciation. La détection n’est pas toujours évidente. Il faut répondre à plusieurs questions : Où est
situé le coude ? Est-ce qu’il est unique ? Est-ce que nous l’incluons ou pas dans la sélection ?
Dans notre Scree plot on remarque, qu’il y a manifestement un « coude » au niveau de la 4ème
composante (fig. 4.29) Nous sélectionnerons donc quatre axes (k=4)
Pour les personnes qui ont du mal à se contenter d’un raisonnement basé sur des
«impressions», d’autres outils sont disponibles, basés sur d’autres critères, on propose d’en
citer les plus utilisés :
1. Kaiser-Guttman, un axe est pertinent si la valeur propre est supérieure à 1/p.
La règle de Kaiser repose sur une idée simple. Dans une ACP normée, la somme des valeurs propres
étant égale au nombre de variables, leur moyenne vaut 1. Nous considérons par conséquent qu’un axe
est intéressant si sa valeur propre est supérieure 1. D’après ce critère nous devons retenir les trois
premiers axes.
2. Karlis. Saporta-Spinaki, il corrige la règle précédente en introduisant une contrainte
supplémentaire tenant compte du ratio « nombre d’observations / nombre de variables
», très important pour la fiabilité des résultats de l’ACP.
On pense généralement que le seuil 1 est trop permissif c.-à-d. nous retenons plus d’axes factoriels
qu’il n’en faut. Il n’est réellement fondé que si les variables sont fortement corrélées, autrement il
faudrait le relever. Une règle plus restrictive consiste à le définir comme suit : moyenne des valeurs
propres + 2 fois leur écart-type (Saporta, 2006 ; page 172). Elle rappelle la définition de la valeur
critique d’un test unilatéral de conformité à 5%, où la statistique suit asymptotiquement une loi
normale.
La règle d’acceptation devient maintenant :
1
1
2
1
n
p
Par rapport à la règle de Kaiser, elle est plus restrictive. Cela va dans le sens souhaité. Notons
également qu’elle dépend du ratio « n:p », déterminant dans la qualité des résultats de l’ACP.
Dans notre exemple
09
.
3
1
11
1
12
2
1
1
1
2
1
n
p
Donc le critère de kaiser nous conduit de retenir aussi un seul axe, mais n’oublions pas que
dans notre première ACP, nous avons seulement pris les moyennes des moyennes mensuelles
pour chaque paramètre, donc nous avons 12 individu pour 11 variable (n>p).
Pour compléter ce résultat, un graphique Scree plot (fig. 4.29) est proposé par XLSTAT. Car pour
choisir les axes principaux Cattell (1966, 1977) propose d’étudier la courbe de décroissance des
valeurs propres. L’idée est de détecter les « coudes » (les «cassures ») signalant un changement de
structure. Cette méthode est appelé critère du coude.
Cette méthode est un peu compliquée à mettre en œuvre parce qu’elle est justement soumise à notre
appréciation. La détection n’est pas toujours évidente. Il faut répondre à plusieurs questions : Où est
situé le coude ? Est-ce qu’il est unique ? Est-ce que nous l’incluons ou pas dans la sélection ?
Dans notre Scree plot on remarque, qu’il y a manifestement un « coude » au niveau de la 4ème
composante (fig. 4.29) Nous sélectionnerons donc quatre axes (k=4)
Pour les personnes qui ont du mal à se contenter d’un raisonnement basé sur des
«impressions», d’autres outils sont disponibles, basés sur d’autres critères, on propose d’en
citer les plus utilisés :
1. Kaiser-Guttman, un axe est pertinent si la valeur propre est supérieure à 1/p.
La règle de Kaiser repose sur une idée simple. Dans une ACP normée, la somme des valeurs propres
étant égale au nombre de variables, leur moyenne vaut 1. Nous considérons par conséquent qu’un axe
est intéressant si sa valeur propre est supérieure 1. D’après ce critère nous devons retenir les trois
premiers axes.
2. Karlis. Saporta-Spinaki, il corrige la règle précédente en introduisant une contrainte
supplémentaire tenant compte du ratio « nombre d’observations / nombre de variables
», très important pour la fiabilité des résultats de l’ACP.
On pense généralement que le seuil 1 est trop permissif c.-à-d. nous retenons plus d’axes factoriels
qu’il n’en faut. Il n’est réellement fondé que si les variables sont fortement corrélées, autrement il
faudrait le relever. Une règle plus restrictive consiste à le définir comme suit : moyenne des valeurs
propres + 2 fois leur écart-type (Saporta, 2006 ; page 172). Elle rappelle la définition de la valeur
critique d’un test unilatéral de conformité à 5%, où la statistique suit asymptotiquement une loi
normale.
La règle d’acceptation devient maintenant :
1
1
2
1
n
p
Par rapport à la règle de Kaiser, elle est plus restrictive. Cela va dans le sens souhaité. Notons
également qu’elle dépend du ratio « n:p », déterminant dans la qualité des résultats de l’ACP.
Dans notre exemple
09
.
3
1
11
1
12
2
1
1
1
2
1
n
p
Donc le critère de kaiser nous conduit de retenir aussi un seul axe, mais n’oublions pas que
dans notre première ACP, nous avons seulement pris les moyennes des moyennes mensuelles
pour chaque paramètre, donc nous avons 12 individu pour 11 variable (n>p).