Partie I
Chapitre III : Méthodes de traitement des données de télédétection
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marge =
2
‖𝑤‖
=
2
√∑
𝑤 𝑖
2
𝑘
𝑖=1
(III.2)
Un séparateur à vaste marge linéaire (SVM) est un discriminateur linéaire de la
forme 𝑝𝑟𝑒𝑑𝑖𝑐𝑡 = 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑤 ∙ 𝑥 + 𝑏) est donné par la résolution du problème suivant :
{
min 1 2
⁄ ‖𝑤‖ 2
𝑦 𝑖 (𝑤. 𝑥 𝑖 + 𝑏) ≥ 1
(III.3)
Cependant, lorsque les classes ne sont pas parfaitement séparables (figure III.3b) (ex.
bruits dans les échantillons . . .), la contrainte introduite dans l’équation ne peut pas être
respectée. Dans ce cas, il y a des erreurs 𝜉 𝑖 de classification, une contrainte est donc relâchée
en introduisant un terme de distance à l’hyperplan {ξi}i=1...n . Dans ce cas des données non
séparables, les hyperplans deviennent :
𝑤 ∙ 𝑥 𝑖 + 𝑏 ≥ +1 − 𝜉 𝑖 pour 𝑦 𝑖 = +1
(III.4)
𝑤 ∙ 𝑥 𝑖 + 𝑏 ≤ −1 + 𝜉 𝑖 pour 𝑦 𝑖 = −1
(III.5)
Avec ∀ 𝜉 𝑖 ≥ 0
Et le problème devient :
{
min 1 2
⁄ ‖𝑤‖ 2 + 𝑐 ∑ 𝜉 𝑖
𝐴𝑣𝑒𝑐 𝑦 𝑖 (𝑤. 𝑥 𝑖 + 𝑏) ≥ 1
(III.6)
(a)
(b)
Figure III.3: Principe de SVM (a) un cas de données séparables (b) un cas de données non
séparables (selon le principe de Vapnik, 1995)