Similitude
33
:
27m. A l’instant initial le uide étant immobile partout, on anime brusquement le
"'—\
rotor de la machine de la vitesseQ et on impose brusquement la différence de pression
motrice Apg. Ces conditions initiales très schématiques sont introduites simplement
pour ne pas avoir à écrire de conditions initiales faisant intervenir une donnée de
vitesse supplémentaire. En fait le calcul, lorsqu’il est possible, et, dans tous les cas,
l’expérience, montrent qu’un écoulement déni par des conditions aux frontières
qui ne font pas intervenir le temps est indépendant des conditions initiales au bout
d’un temps sufsamment long après le début du mouvement. Nous reviendrons sur
ce point dans le chapitre surles écoulements turbulents. Lorsqu’il en est ainsi, l’écoulement est entièrement déni par les conditions imposées sur une surface fermée
qui comporte: les parois de la canalisation, deux surfaces tracées par la pensée dans
les réservoirs A et B dans des régions où la vitesse de l’écoulement est pratiquement
nulle et enn les parois au contact du uide du rotor de la machine. La condition d’adhérence impose une vitesse nulle du uidele long des parois xes et une vitesse égale
/“A
——>
à Q /\ OM en un point M des surfaces mobiles, 0 désignant un point xe de l’axe de
rotation. Le long des surfaces tracées dans les réservoirs A et B on impose des pressions motrices constantes dont la diérence est Apg.
Pour écrire les conditions de similitude, on choisit par exemple le plus grand diamètre D0 du rotor de la machine comme longueur de référence, la masse volumique
90 du uide comme masse volumique de référence et la grandeur V0 : \/Apg/go
comme vitesse de référence.
Dans ce cas les équations dynamiques font apparaître uniquement le nombre de
Reynolds
=
(90 VoD0/M0)a ,u0 désignant la viscosité dynamique du uide supposée
constante et les conditions aux frontières s’écrivent Ο+ = 0 le long des surfaces xes,
"
——r_
_
,
_
V+ : (coD0/
/\ OM
+ sur les parcs mobiles et Apg+=
1 entre les reserv01rs
A et B. Les paramètres de similitude sont donc QD et wDO/VO. Le débit en volume qu
dans la canalisation introduit alors sous la forme adimensionnelle:
qu
,
ŒDO
=———2 = f(@…
—
VoDo
V0
est une fonction de QO et de wD0/VO.
Pour les applications il est plus commode de changer la Vitesse de référence et de
choisir nD0 comme unité de vitesse, car cette grandeur ne dépend que de la machine.
On écrit donc la relation précédente sous la forme:
%
nDO
f
nDä
VO
27mDO)
nDä
V0
—
”0
”D0
V0
c’est—à—dire :
2
\
.
qv
nDä
V0 )
__
g(
nDO
‘/
Apg )
___—_
=
_—
———
—
————
,
——‘2—’—â“
nDä
g
'V0
’
110D0
”o
'
90” D0
ou encore:
9
Apg
:
F
‘Ïv
_”_DÂ
Qo”2Dâ
nDâ
”l’O
33
:
27m. A l’instant initial le uide étant immobile partout, on anime brusquement le
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rotor de la machine de la vitesseQ et on impose brusquement la différence de pression
motrice Apg. Ces conditions initiales très schématiques sont introduites simplement
pour ne pas avoir à écrire de conditions initiales faisant intervenir une donnée de
vitesse supplémentaire. En fait le calcul, lorsqu’il est possible, et, dans tous les cas,
l’expérience, montrent qu’un écoulement déni par des conditions aux frontières
qui ne font pas intervenir le temps est indépendant des conditions initiales au bout
d’un temps sufsamment long après le début du mouvement. Nous reviendrons sur
ce point dans le chapitre surles écoulements turbulents. Lorsqu’il en est ainsi, l’écoulement est entièrement déni par les conditions imposées sur une surface fermée
qui comporte: les parois de la canalisation, deux surfaces tracées par la pensée dans
les réservoirs A et B dans des régions où la vitesse de l’écoulement est pratiquement
nulle et enn les parois au contact du uide du rotor de la machine. La condition d’adhérence impose une vitesse nulle du uidele long des parois xes et une vitesse égale
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rotation. Le long des surfaces tracées dans les réservoirs A et B on impose des pressions motrices constantes dont la diérence est Apg.
Pour écrire les conditions de similitude, on choisit par exemple le plus grand diamètre D0 du rotor de la machine comme longueur de référence, la masse volumique
90 du uide comme masse volumique de référence et la grandeur V0 : \/Apg/go
comme vitesse de référence.
Dans ce cas les équations dynamiques font apparaître uniquement le nombre de
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constante et les conditions aux frontières s’écrivent Ο+ = 0 le long des surfaces xes,
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A et B. Les paramètres de similitude sont donc QD et wDO/VO. Le débit en volume qu
dans la canalisation introduit alors sous la forme adimensionnelle:
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=———2 = f(@…
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VoDo
V0
est une fonction de QO et de wD0/VO.
Pour les applications il est plus commode de changer la Vitesse de référence et de
choisir nD0 comme unité de vitesse, car cette grandeur ne dépend que de la machine.
On écrit donc la relation précédente sous la forme:
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