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Généralités —— Transferts lamz‘naz‘res
Remarquons enn qu’en convection naturelle pure si on prend vOP…/LO comme
unité de vitesse et si on affecte de l’indice
+ +
les variables sans dm1ens1on correspom
.
dantes, les équations du problème s’écrivent:
1
aui++
8”i++
aP++
_
G
aZ++
@
aïij++
——
——+j++“‘—+Z_— _
r0Proa_—”
++
_
@r0
ôf++
ôxj++
0Xi++
Xi++
CXJ++
'
D0
___+_
:
D’
++
"
On voit que pour les très grands nombres de Prandtl le premier membre des équations
dynamiques devient négligeable devant le second et le seul paramètre de similitude
(lorsque les propriétés physiques du uide peuvent être considérées comme cons—
tantes), est le nombre Qa0 = G… @,0, appelé nombre de Rayleigh.
1.4.4. — Cas général
Pour trouver les conditions de similitude dans le cas général on choisit parmi les
conditions initiales ou les conditions aux frontières, une longueur LO, une vitesse VO,
une masse volumique go et une température T0 que l’on prend comme unités fondamentales. Les équations indénies, mises sous forme adimensionnelle, font alors
apparaître, comme nous l’avons vu, les paramètres de similitude: nombre de Reynolds, nombre de Froude, nombre d’Eckert et nombre de Prandtl ainsi que les fonctions caractéristiques du uide qui contiennent le paramètre Q0 Vä/p0. Mais les conditions initiales et les conditions aux frontières, écrites sous forme adimensionnelle,
introduisent des paramètres de similitude supplémentaires dont le nombre dépend
évidemment de la nature du problème étudié. Si par exemple dans les conditions initiales et les conditions aux frontières gurentp+1 vitesses V0, V1,. . .V,, et n+1 tem—
pératures T0, T1,. . .Tp, ces conditions introduisent les n+p paramètres de simililltude V1/V0 . .. V,,/V0 . . ., T1/TO ... Tp/TO'
Exemple — Similitude des turbomachines. — Dans le cas d’un écoulement d’un
uide de propriétés physiques constantes, déni par la donnée de deux vitesses V0 et
V1, les paramètres de similitude du problème dynamique se réduisent au nombre de
de Reynolds et au rapport V1/V0 dans le cas des écoulements en charge et à ces deux
paramètres il faut ajouter le nombre de Froude dans le cas des écoulements à surface
libre.
Un tel cas particulier, très important pour les applications, est celui de la similitude
;
des turbomachines.
Une installation comportant une turbomachine fonctionnant en uide incompresSible, peut
etre decr1te schématiquement de la façon suivante: une canalisation C fait
communiquer deux grands réservoirs A et B entre lesquels on maintient une diffé—
rence
de pre551on
motrice constante Apg. Cette canalisation, dont les parois sont
xes, contient un ensemble de par013 mobiles (qu’on appelle le rotor de la machine)
'
9
\
.
_
qu1 tournent autour d un axe xe a la v1tesse de rotation constante !) de module a) =
Généralités —— Transferts lamz‘naz‘res
Remarquons enn qu’en convection naturelle pure si on prend vOP…/LO comme
unité de vitesse et si on affecte de l’indice
+ +
les variables sans dm1ens1on correspom
.
dantes, les équations du problème s’écrivent:
1
aui++
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——
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On voit que pour les très grands nombres de Prandtl le premier membre des équations
dynamiques devient négligeable devant le second et le seul paramètre de similitude
(lorsque les propriétés physiques du uide peuvent être considérées comme cons—
tantes), est le nombre Qa0 = G… @,0, appelé nombre de Rayleigh.
1.4.4. — Cas général
Pour trouver les conditions de similitude dans le cas général on choisit parmi les
conditions initiales ou les conditions aux frontières, une longueur LO, une vitesse VO,
une masse volumique go et une température T0 que l’on prend comme unités fondamentales. Les équations indénies, mises sous forme adimensionnelle, font alors
apparaître, comme nous l’avons vu, les paramètres de similitude: nombre de Reynolds, nombre de Froude, nombre d’Eckert et nombre de Prandtl ainsi que les fonctions caractéristiques du uide qui contiennent le paramètre Q0 Vä/p0. Mais les conditions initiales et les conditions aux frontières, écrites sous forme adimensionnelle,
introduisent des paramètres de similitude supplémentaires dont le nombre dépend
évidemment de la nature du problème étudié. Si par exemple dans les conditions initiales et les conditions aux frontières gurentp+1 vitesses V0, V1,. . .V,, et n+1 tem—
pératures T0, T1,. . .Tp, ces conditions introduisent les n+p paramètres de simililltude V1/V0 . .. V,,/V0 . . ., T1/TO ... Tp/TO'
Exemple — Similitude des turbomachines. — Dans le cas d’un écoulement d’un
uide de propriétés physiques constantes, déni par la donnée de deux vitesses V0 et
V1, les paramètres de similitude du problème dynamique se réduisent au nombre de
de Reynolds et au rapport V1/V0 dans le cas des écoulements en charge et à ces deux
paramètres il faut ajouter le nombre de Froude dans le cas des écoulements à surface
libre.
Un tel cas particulier, très important pour les applications, est celui de la similitude
;
des turbomachines.
Une installation comportant une turbomachine fonctionnant en uide incompresSible, peut
etre decr1te schématiquement de la façon suivante: une canalisation C fait
communiquer deux grands réservoirs A et B entre lesquels on maintient une diffé—
rence
de pre551on
motrice constante Apg. Cette canalisation, dont les parois sont
xes, contient un ensemble de par013 mobiles (qu’on appelle le rotor de la machine)
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