Similz‘ludc
3 ]
l’écoulement & lieu dans le champ de pesanteur et le uide est supposé Newtonien.
Dans le cas où les conditions initiales et les conditions aux frontières s’expriment
à l’aide d’une seule vitesse V0 et de deux températures T0 et Tp
les équations indénies
mises sous forme adimensionnelle s’écrivent:
(l_/3+6+)
=
_ô_pgi+g_L£_
Ë‘LÎ
t+
ôx,-+
V0 ôxi+
Q,, BX,—+ -
ô(l—+6+)
+
a(l_+6+)”i+
:
0
81+
BX,—+
D
__.
(1—+6+)Îîî
=
div (Â+ grad @+)
avec:
0:— =
+ : (Tp'-TO)»
(Q() :
@ro :
[’
0
0
")
Cp+ :
%“: Pg+
—
P0
90 V0
Les paramètres de similitude qui gurent dans ces équations sont évidemment les
mêmes que ceux que nous avons introduits antérieurement. Mais l’intérêt de cette
forme particulière d’écriture est de montrer que pour les gaz ou les liquides sans sur—
face libre non horizontale, le nombre de Proude n’intervient que dans le groupement o(Tp——TO) (gL0/ Vâ), o désignant la valeur de ;? lorsque T tend vers To.
Pour les applications il est commode de conserver le nombre de Reynolds et de
remplacer le groupement précédent par le produit 0(Tp—To)(gLo/ Vâ) - ÜQÊ qui ne
contient plus la vitesse V0. Ce produit égal à o(Tp—TO)gLâ/vâ = G,() est appelé le
nombre de Grashof.
Lorsque les mouvements du uide sont uniquement dûs aux différences de masse
volumique liées aux différences de température, c’est—à-dire lorsqu’il n’y a pas de
donnée de vitesse ou de différence de pression dans les conditions aux frontières
et les conditions initiales qui dénissent le problème, on dit que le problème est un
problème de convection naturelle pure. Dans ce cas on prend comme unité de vitesse
V0 = v0/L0 et les paramètres de similitude sont: le nombre de Grashof, le nombre de
Prandtl,
et des paramètres adimensionnels caractérisant les variations de
/m 1U+,
en fontion de @+. Si (TP—Tp)/TO
est sufsamment petit devant l,
on peut négliger les variations des propriétés physiques u,
). et C
I,
avec la température
et prendre /0 = ], les paramètres de similitude se réduisent alors aux nombres de
Grashof et de Prandtl.
Lorsque les conditions aux frontières et les contions initiales comportent à la
fois une donnée de vitesse et deux données de température, le problème est un problème
de convection mixte. Le nombre sans dimension Gro/ÔQË représente alors le rapport
du terme de poussée d’Archimède aux autres termes des équations dynamiques et
par conséquent si ce nombre sans dimension est très petit devant 1 on peut négliger
la poussée d’Archimède et le problème devient un problème de convection forcée
pure.
3 ]
l’écoulement & lieu dans le champ de pesanteur et le uide est supposé Newtonien.
Dans le cas où les conditions initiales et les conditions aux frontières s’expriment
à l’aide d’une seule vitesse V0 et de deux températures T0 et Tp
les équations indénies
mises sous forme adimensionnelle s’écrivent:
(l_/3+6+)
=
_ô_pgi+g_L£_
Ë‘LÎ
t+
ôx,-+
V0 ôxi+
Q,, BX,—+ -
ô(l—+6+)
+
a(l_+6+)”i+
:
0
81+
BX,—+
D
__.
(1—+6+)Îîî
=
div (Â+ grad @+)
avec:
0:— =
+ : (Tp'-TO)»
(Q() :
@ro :
[’
0
0
")
Cp+ :
%“: Pg+
—
P0
90 V0
Les paramètres de similitude qui gurent dans ces équations sont évidemment les
mêmes que ceux que nous avons introduits antérieurement. Mais l’intérêt de cette
forme particulière d’écriture est de montrer que pour les gaz ou les liquides sans sur—
face libre non horizontale, le nombre de Proude n’intervient que dans le groupement o(Tp——TO) (gL0/ Vâ), o désignant la valeur de ;? lorsque T tend vers To.
Pour les applications il est commode de conserver le nombre de Reynolds et de
remplacer le groupement précédent par le produit 0(Tp—To)(gLo/ Vâ) - ÜQÊ qui ne
contient plus la vitesse V0. Ce produit égal à o(Tp—TO)gLâ/vâ = G,() est appelé le
nombre de Grashof.
Lorsque les mouvements du uide sont uniquement dûs aux différences de masse
volumique liées aux différences de température, c’est—à-dire lorsqu’il n’y a pas de
donnée de vitesse ou de différence de pression dans les conditions aux frontières
et les conditions initiales qui dénissent le problème, on dit que le problème est un
problème de convection naturelle pure. Dans ce cas on prend comme unité de vitesse
V0 = v0/L0 et les paramètres de similitude sont: le nombre de Grashof, le nombre de
Prandtl,
et des paramètres adimensionnels caractérisant les variations de
/m 1U+,
en fontion de @+. Si (TP—Tp)/TO
est sufsamment petit devant l,
on peut négliger les variations des propriétés physiques u,
). et C
I,
avec la température
et prendre /0 = ], les paramètres de similitude se réduisent alors aux nombres de
Grashof et de Prandtl.
Lorsque les conditions aux frontières et les contions initiales comportent à la
fois une donnée de vitesse et deux données de température, le problème est un problème
de convection mixte. Le nombre sans dimension Gro/ÔQË représente alors le rapport
du terme de poussée d’Archimède aux autres termes des équations dynamiques et
par conséquent si ce nombre sans dimension est très petit devant 1 on peut négliger
la poussée d’Archimède et le problème devient un problème de convection forcée
pure.