l
Simililude
25
l
] .4 .3
.
—
Etude de cas particuliers
1 ° Les conditions aux frontières et les conditions initiales s’expriment à l’aide
d’une seule vztesse V
0 ou d’une seule grandeur homogène à une vitesse, par exemPl€ \/ (APO/Qc), APO désignant une dérence de pression et d’une seule tem—
É
pérature T
0—
Dans ce cas les paramètres de similitude sont au nombre de5: @…
(50, (D…, 90 Vä/p0 mais il faut ajouterà ces paramètres les 4 fonctions caractéris—
tiques du uide qui, mises sous forme adimensionnelle doiventêtre identiques pour
que 2 écoulements soient dynamiquement et thermiquement semblables.
a) Cas du gaz parfait. — Si le uide est un gaz parfait dont l’équation d’état est
])/9 : rT, l’enthalpie H = CPT avec Cp— CD = !‘ nous pouvons écrire:
2
2
‘
Æ __
VO
_
VO
0 — _“
—
"—
.
HO
CP0TO
0— 1
)
C…
r__
=
,.
c,…T0 :
:
r_o
.
_,_…
V0
?0_1
')”0 _1
On
&
Vä
'
>
<
)JZ"
0 : “_“ 'Wo“1 : l’O—1
3’0(170/90)
Nous pouvons donc dans ce cas remplacer le nombre d’Eckert et le nombre 7/OJÏÛ
par 7/0 etl0 et les caractéristiques physiques du uide se réduisent à
M
f
T
).
f’T)
C,,
f
(T)
)
TO
/.0
( TO C
],0
P
T()
Les deux fonctions À+ et
sont en général pratiquement identiques et peuvent être
mises sous la forme
:
ft = (T/TO)", et on peut négliger les variations de Cp avec T.
les paramètres de similitude sont alors au nombre de 6: QG, (ÎO,
3/0, lo et 11.
Enn dans beaucoup de problèmes d’écoulements de gaz la pesanteur n’intervient
pas car les différences de pression dues aux di“érences d’altitude sont négligeables
devant les variations de pression dues aux variations de vitesse. Lorsqu’il en est ainsi
le nombre de Froude n’intervient pas
b) Cas des liquides. — Dans le cas des liquides et dans la plupart des problèmes pratiques on peut supposer que la masse volumique est constante.
Lorsqu’il en est ainsi 2 cas peuvent se présenter:
—
les surfaces frontières ne comportent pas de surfacelibre non horizontale (c’est—
à—dire de surface non horizontale de séparation entre le liquide et un gaz supposé à
pression constante). On peut alors dans les équations indénies grouper les termes
—Ôp/ôx,—— gg(ôZ/ôx,-) en introduisant la pression motrice pg : p+gogZ.
Comme le long d’une surface horizontale la condition p : Cte peut être remplacée
par pg : Cte puisque Z : Cte, le problème peut être traité entièrement à l’aide de la
pression motrice sans faire intervenir la pesanteur, le nombre de Fr‘oude n’intervient
donc pas. On dit alors que l’écoulement est «en charge».
Simililude
25
l
] .4 .3
.
—
Etude de cas particuliers
1 ° Les conditions aux frontières et les conditions initiales s’expriment à l’aide
d’une seule vztesse V
0 ou d’une seule grandeur homogène à une vitesse, par exemPl€ \/ (APO/Qc), APO désignant une dérence de pression et d’une seule tem—
É
pérature T
0—
Dans ce cas les paramètres de similitude sont au nombre de5: @…
(50, (D…, 90 Vä/p0 mais il faut ajouterà ces paramètres les 4 fonctions caractéris—
tiques du uide qui, mises sous forme adimensionnelle doiventêtre identiques pour
que 2 écoulements soient dynamiquement et thermiquement semblables.
a) Cas du gaz parfait. — Si le uide est un gaz parfait dont l’équation d’état est
])/9 : rT, l’enthalpie H = CPT avec Cp— CD = !‘ nous pouvons écrire:
2
2
‘
Æ __
VO
_
VO
0 — _“
—
"—
.
HO
CP0TO
0— 1
)
C…
r__
=
,.
c,…T0 :
:
r_o
.
_,_…
V0
?0_1
')”0 _1
On
&
Vä
'
>
<
)JZ"
0 : “_“ 'Wo“1 : l’O—1
3’0(170/90)
Nous pouvons donc dans ce cas remplacer le nombre d’Eckert et le nombre 7/OJÏÛ
par 7/0 etl0 et les caractéristiques physiques du uide se réduisent à
M
f
T
).
f’T)
C,,
f
(T)
)
TO
/.0
( TO C
],0
P
T()
Les deux fonctions À+ et
sont en général pratiquement identiques et peuvent être
mises sous la forme
:
ft = (T/TO)", et on peut négliger les variations de Cp avec T.
les paramètres de similitude sont alors au nombre de 6: QG, (ÎO,
3/0, lo et 11.
Enn dans beaucoup de problèmes d’écoulements de gaz la pesanteur n’intervient
pas car les différences de pression dues aux di“érences d’altitude sont négligeables
devant les variations de pression dues aux variations de vitesse. Lorsqu’il en est ainsi
le nombre de Froude n’intervient pas
b) Cas des liquides. — Dans le cas des liquides et dans la plupart des problèmes pratiques on peut supposer que la masse volumique est constante.
Lorsqu’il en est ainsi 2 cas peuvent se présenter:
—
les surfaces frontières ne comportent pas de surfacelibre non horizontale (c’est—
à—dire de surface non horizontale de séparation entre le liquide et un gaz supposé à
pression constante). On peut alors dans les équations indénies grouper les termes
—Ôp/ôx,—— gg(ôZ/ôx,-) en introduisant la pression motrice pg : p+gogZ.
Comme le long d’une surface horizontale la condition p : Cte peut être remplacée
par pg : Cte puisque Z : Cte, le problème peut être traité entièrement à l’aide de la
pression motrice sans faire intervenir la pesanteur, le nombre de Fr‘oude n’intervient
donc pas. On dit alors que l’écoulement est «en charge».