12
Généralités —— Transferts lann‘naires
comme a,.jnj
da désigne le ux du vecteur de projections 0… Gif!)
à travers l’élément de surface do“, l’équation (1—17) peut encore s’écrire:
ôQ”i
"
a<7ü )
——
'
div
u—V— -— —
dz‘=O
@
Cette équation étant applicable quel que soit @ on a en tout point:
8 u.
——
80-——9 ‘+d1v pu,—V : f,—+
—”—
@!
8Xj
équation qui peut s’écrire en tenant compte de l’équation de continuité:
ôu,ôLl,‘
ÜO'Ü
.
—+u-—
=f+—
(1-18)
9
( a:
!
axj
’
ax,—
Ces équations au nombre de 3 (en faisant i = 1, 2, 3), ajoutées à l’équation de continuité, sont appelées les équations dynamiques du mouvement du milieu, elles s’appliquent à un milieu continu quelconque.
'
Dans le cas d’un uide newtonien les contraintes sont par dénition proportionnelles aux taux de déformation du milieu et on a:
ôuU
’]
8Xj
8.X7
7
1J
517 désignant le symbole
de Kronecker ôij = 1 si 1” = j et ôij = 0 Sii # j, 12 la pression,
tt et 77 les coefcients de viscosité du uide, @ = div 17 = ôu,-/ôxi le taux de dilatation
cubique du uide.
'
Le tenseur 'U,-j = y. [(GuÏ/ôxj) + (auf/8x9] +77eôÜ est le tenseur des contraintes de viscosité du uide.
Le coefcient ;” est le coefcient de viscosité dynamique du uide et lorsqu’il y a
lieu de faire intervenir le coeicient 77 on admet que les coefcients 77 et .“ sont liés
par la relation de Stokes 377+2u = 0 et on remplace 77 par — —â—/L.
Dans toutes les applications que nous ferons nous n’introduirons que les forces
de pesanteur et dans ce cas fi = —Qg(ôZ/ôx,—), g désignant l’accélération de la pesanteur et Z la cote d’un point M comptée sur un axe vertical orientée positivement de
bas en haut. Avec ces notations les équations dynamiques de mouvement d’un uide
pesant s’écrivent:
ôu,—
ôu—
81)
82
ô'5Q
=
———Qg—+—«”
xj
axî
ôx,ôxj
et si le
uide peut être assimilé à un uide «incompressible» c’est-à-dire de masse
volumique constante, les équations se simplient et deviennent:
Q
@
+uj—
_
[
ôxj
8xi
8Xj
Généralités —— Transferts lann‘naires
comme a,.jnj
da désigne le ux du vecteur de projections 0… Gif!)
à travers l’élément de surface do“, l’équation (1—17) peut encore s’écrire:
ôQ”i
"
a<7ü )
——
'
div
u—V— -— —
dz‘=O
@
Cette équation étant applicable quel que soit @ on a en tout point:
8 u.
——
80-——9 ‘+d1v pu,—V : f,—+
—”—
@!
8Xj
équation qui peut s’écrire en tenant compte de l’équation de continuité:
ôu,ôLl,‘
ÜO'Ü
.
—+u-—
=f+—
(1-18)
9
( a:
!
axj
’
ax,—
Ces équations au nombre de 3 (en faisant i = 1, 2, 3), ajoutées à l’équation de continuité, sont appelées les équations dynamiques du mouvement du milieu, elles s’appliquent à un milieu continu quelconque.
'
Dans le cas d’un uide newtonien les contraintes sont par dénition proportionnelles aux taux de déformation du milieu et on a:
ôuU
’]
8Xj
8.X7
7
1J
517 désignant le symbole
de Kronecker ôij = 1 si 1” = j et ôij = 0 Sii # j, 12 la pression,
tt et 77 les coefcients de viscosité du uide, @ = div 17 = ôu,-/ôxi le taux de dilatation
cubique du uide.
'
Le tenseur 'U,-j = y. [(GuÏ/ôxj) + (auf/8x9] +77eôÜ est le tenseur des contraintes de viscosité du uide.
Le coefcient ;” est le coefcient de viscosité dynamique du uide et lorsqu’il y a
lieu de faire intervenir le coeicient 77 on admet que les coefcients 77 et .“ sont liés
par la relation de Stokes 377+2u = 0 et on remplace 77 par — —â—/L.
Dans toutes les applications que nous ferons nous n’introduirons que les forces
de pesanteur et dans ce cas fi = —Qg(ôZ/ôx,—), g désignant l’accélération de la pesanteur et Z la cote d’un point M comptée sur un axe vertical orientée positivement de
bas en haut. Avec ces notations les équations dynamiques de mouvement d’un uide
pesant s’écrivent:
ôu,—
ôu—
81)
82
ô'5Q
=
———Qg—+—«”
xj
axî
ôx,ôxj
et si le
uide peut être assimilé à un uide «incompressible» c’est-à-dire de masse
volumique constante, les équations se simplient et deviennent:
Q
@
+uj—
_
[
ôxj
8xi
8Xj