1Wécanique des uides
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Nous ne développerons pas ici les calculs qui conduisent à l’expression de [on]1
et par conséquent à l’expression du coefcient de di’usion, nous avons simplement
voulu montrer comment s’introduit le terme de diffusion dans l’expression de la conservation de la masse et pourquoi la vitesse moyenne des molécules d’un constituant
C qui di‘usc n‘est pas égale à la vitesse du centre d’inertie de toutes les molécules
qui se trouvent dans l’élément de volume de.
Nous avons aussi voulu montrer, sur l’exemple de la conservation de la masse, que
le milieu discontinu peut être assimilé à un milieu continu à condition que le nombre
de particules par unité de volume soit sufsamment grand et que dans ce cas le milieu
discontinu obéit aux mêmes équations que le milieu continu.
Si par suite de réactions chimiques il apparait dans l’élément de volume du une
masse@ du constituant C1 par unité de volume et par unité de temps, il faut ajouter
au second membre de lՎquation (1-15) le terme _HIΠdz).
@
1.3.4. — Equations dynamiques
Dans tout ce qui suit nous supposerons que le milieu est continu et nous ne développerons pas les calculs à partir d’un schéma discontinu du milieu qui nous conduiraient aux mêmes équations.
1° Application du théorème des quantités de mouvement. — En appelant u,- la projection de la vitesse du milieu au sens d’Euler sur l’axe de référence Ox,-, la quantité
de mouvement en projection sur 0x,— par unité de volume est Q”i- En posant Q = ou,—,
DK/Dt représente la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement
du milieu contenu dans le domaine @, dérivée calculée en suivant le milieu dans son
mouvement.
D’après l’équation fondamentale de la dynamique cette dérivée est égale à la somme
des projections sur Ox,- des forces extérieures qui agissent sur le milieu contenu à
l’instant ! dans @.
Ces forces extérieures comprennent:
a) des forces de volume provenant de champs de forces extérieures (tels que le champ
de pesanteur) qui exercent sur un élément de volume du une force égale à f,- dz;
en projection sur 0x,…
19) des forces de surface s’exerçant sur la surface): et dénies, pour un élément de surface do de Z, parle tenseur des contraintes 0'ij.
Ce qui Veut dire que sur l’élément
de surface da, déni par le vecteur unitaire ?? porté par la normale à do et orienté
de l’intérieur vers l’extérieur de E, s’exerce la force Î da, telle que les projections
T,- du vecteur Î soient égales à o‘ijnj en utilisant la convention d’Einstein:
O‘ijnj : o‘,—1nl+a;2nZ+o‘i3n3
l’application du théorème des quantités de mouvement conduit donc à l’équation:
.
Ëâu—l
" QuŸÎÎ da =
f,—
aijitj
do
(1-17)
@
t
2"
CD
2
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Nous ne développerons pas ici les calculs qui conduisent à l’expression de [on]1
et par conséquent à l’expression du coefcient de di’usion, nous avons simplement
voulu montrer comment s’introduit le terme de diffusion dans l’expression de la conservation de la masse et pourquoi la vitesse moyenne des molécules d’un constituant
C qui di‘usc n‘est pas égale à la vitesse du centre d’inertie de toutes les molécules
qui se trouvent dans l’élément de volume de.
Nous avons aussi voulu montrer, sur l’exemple de la conservation de la masse, que
le milieu discontinu peut être assimilé à un milieu continu à condition que le nombre
de particules par unité de volume soit sufsamment grand et que dans ce cas le milieu
discontinu obéit aux mêmes équations que le milieu continu.
Si par suite de réactions chimiques il apparait dans l’élément de volume du une
masse@ du constituant C1 par unité de volume et par unité de temps, il faut ajouter
au second membre de lՎquation (1-15) le terme _HIΠdz).
@
1.3.4. — Equations dynamiques
Dans tout ce qui suit nous supposerons que le milieu est continu et nous ne développerons pas les calculs à partir d’un schéma discontinu du milieu qui nous conduiraient aux mêmes équations.
1° Application du théorème des quantités de mouvement. — En appelant u,- la projection de la vitesse du milieu au sens d’Euler sur l’axe de référence Ox,-, la quantité
de mouvement en projection sur 0x,— par unité de volume est Q”i- En posant Q = ou,—,
DK/Dt représente la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement
du milieu contenu dans le domaine @, dérivée calculée en suivant le milieu dans son
mouvement.
D’après l’équation fondamentale de la dynamique cette dérivée est égale à la somme
des projections sur Ox,- des forces extérieures qui agissent sur le milieu contenu à
l’instant ! dans @.
Ces forces extérieures comprennent:
a) des forces de volume provenant de champs de forces extérieures (tels que le champ
de pesanteur) qui exercent sur un élément de volume du une force égale à f,- dz;
en projection sur 0x,…
19) des forces de surface s’exerçant sur la surface): et dénies, pour un élément de surface do de Z, parle tenseur des contraintes 0'ij.
Ce qui Veut dire que sur l’élément
de surface da, déni par le vecteur unitaire ?? porté par la normale à do et orienté
de l’intérieur vers l’extérieur de E, s’exerce la force Î da, telle que les projections
T,- du vecteur Î soient égales à o‘ijnj en utilisant la convention d’Einstein:
O‘ijnj : o‘,—1nl+a;2nZ+o‘i3n3
l’application du théorème des quantités de mouvement conduit donc à l’équation:
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