Mécanique des uides
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déduite de l’application du 1er principe de la thermodynamique, lorsqu’il s’agit d’un
transfert de chaleur et par une équation de conservation de la masse du constituant
qui diffuse dans le cas du transfert de masse.
1.3.1. — Dérivée particulaire
Pour appliquer les théorèmes généraux de la Mécanique ou les principes de la ther—
modynamique à un fluide en mouvement il faut suivre une masse individualisée de
matière dans son mouvement. Pour effectuer cette << individualisation » on trace par la
pensée dans l’espace occupé par le uide en mouvement, une surface fermée xe 2
et on marque, toujours par la pensée, les éléments de matière qui se trouvent à l’instant
t dans le domaine limité par la surface 2. Soit Q une grandeur scalaire, rapportée à
l’unité de volume qui dépend de l’état du uide et de sa vitesse. En variables d’Euler
Q dépend des coordonnées x,- du point considéré Mde l’espace et du temps 1‘. Mais si
‘
on suit l’élément de matière qui se trouve en M à l’instant t dans son mouvement Q
n’est plus fonction que du temps et la dérivée de Q par rapport à t est alors appelée
dérivée particulaire et nous la noterons DQ/Dt. Si Q désigne par exemple la projection
ui de la vitesse de l’élément de matière en-Msur l’axe de référence 0x,-, y,- : Du,-/Dt
est la projection de l’accélération de cet élément de matière sur Ox,—.
Pour tous les éléments de matière marqués qui se trouvent à l’instant t dans le
domaine @, la somme des grandeurs Q prend la valeurK =
Q dv, dv désignant
@
,
l’élément de volume du domaine @
.
Lorsqu’on suit les éléments marqués dans leurs
mouvements K n’est fonction que du temps et il est facile de montrer que
% :
JU%%…»+HQV.æ
Qî/)
dr
(1—5)
@
L‘
@
Vn désignant la projection du vecteur vitesse 17 du milieu continu au centre de l’élément
de surface da sur la normale à do‘ orientée positivement de l’intérieur du domaine
@ vers l’extérieur.
Dans le cas où le milieu est discontinu et formé d’éléments de matière distincts
et identiques que nous appellerons particules (molécules d’un corps pur par exemple)
on aboutit à une formule analogue à condition d’introduire des moyennes correctement dénies. Appelons (] une grandeur dépendant de l’état et de la vitesse d’une particule et soit ?) le nombre de particules par unité de volume en un point M.
Si le nombre des particules dans un élément de volume dv du domaine @ est très
grand (l’élément de volume étant très petit devant le volume total occupé par le milieu
en mouvement) on dénit une vitesse moyenne [Î/] des particules dans l’élément de
volume d I‘ par la relation
[17] =
‘
.
N
Î/1, Î/2 . . . Ο,, désignent les vitesses des N particules dont les centres d’inertie se trou—
vent dans dr.
FORTIER
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déduite de l’application du 1er principe de la thermodynamique, lorsqu’il s’agit d’un
transfert de chaleur et par une équation de conservation de la masse du constituant
qui diffuse dans le cas du transfert de masse.
1.3.1. — Dérivée particulaire
Pour appliquer les théorèmes généraux de la Mécanique ou les principes de la ther—
modynamique à un fluide en mouvement il faut suivre une masse individualisée de
matière dans son mouvement. Pour effectuer cette << individualisation » on trace par la
pensée dans l’espace occupé par le uide en mouvement, une surface fermée xe 2
et on marque, toujours par la pensée, les éléments de matière qui se trouvent à l’instant
t dans le domaine limité par la surface 2. Soit Q une grandeur scalaire, rapportée à
l’unité de volume qui dépend de l’état du uide et de sa vitesse. En variables d’Euler
Q dépend des coordonnées x,- du point considéré Mde l’espace et du temps 1‘. Mais si
‘
on suit l’élément de matière qui se trouve en M à l’instant t dans son mouvement Q
n’est plus fonction que du temps et la dérivée de Q par rapport à t est alors appelée
dérivée particulaire et nous la noterons DQ/Dt. Si Q désigne par exemple la projection
ui de la vitesse de l’élément de matière en-Msur l’axe de référence 0x,-, y,- : Du,-/Dt
est la projection de l’accélération de cet élément de matière sur Ox,—.
Pour tous les éléments de matière marqués qui se trouvent à l’instant t dans le
domaine @, la somme des grandeurs Q prend la valeurK =
Q dv, dv désignant
@
,
l’élément de volume du domaine @
.
Lorsqu’on suit les éléments marqués dans leurs
mouvements K n’est fonction que du temps et il est facile de montrer que
% :
JU%%…»+HQV.æ
Qî/)
dr
(1—5)
@
L‘
@
Vn désignant la projection du vecteur vitesse 17 du milieu continu au centre de l’élément
de surface da sur la normale à do‘ orientée positivement de l’intérieur du domaine
@ vers l’extérieur.
Dans le cas où le milieu est discontinu et formé d’éléments de matière distincts
et identiques que nous appellerons particules (molécules d’un corps pur par exemple)
on aboutit à une formule analogue à condition d’introduire des moyennes correctement dénies. Appelons (] une grandeur dépendant de l’état et de la vitesse d’une particule et soit ?) le nombre de particules par unité de volume en un point M.
Si le nombre des particules dans un élément de volume dv du domaine @ est très
grand (l’élément de volume étant très petit devant le volume total occupé par le milieu
en mouvement) on dénit une vitesse moyenne [Î/] des particules dans l’élément de
volume d I‘ par la relation
[17] =
‘
.
N
Î/1, Î/2 . . . Ο,, désignent les vitesses des N particules dont les centres d’inertie se trou—
vent dans dr.
FORTIER
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