D-2 D’Alembert–Euler (Cauchy–Riemann) equations 541
Table D.3. E
2
a,b , the transverse Mercator projection, the series expansions x(l, b) and y(l, b) based upon
x(q) =
P ∞
r=0 a r q
r . Part two.
a 20 (b) =
3 a e
2
`
1 − e
2
´
cos b sin b
2
`
1 − e 2 sin
2 b
´ 5
2
,
a 30 (b) =
−a e
2
`
1 − e
2
´
2
`
1 − e 2 sin
2 b
´ 7
2
×
×
ˆ
−1 + 2 sin
2 b + e
2 sin
2 b
`
−4 + 3 sin
2 b
´˜
,
a 21 (b) =
−a
`
1 − e
2
´
cos b
`
1 + 2 e
2 sin
2 b
´
2
`
1 − e 2 sin
2 b
´ 5
2
,
a 40 (b) =
−a e
2
`
1 − e
2
´
sin b
8 cos b
`
1 − e 2 sin
2 b
´ 9
2
×
×
ˆ
4 + e
2 ` −15 + 22 sin
2 b
´
+ e
4 sin
2 b
` −20 + 9 sin
2 b
´˜
,
a 31 (b) =
−a
`
1 − e
2
´
sin b
6
`
1 − e 2 sin
2 b
´ 7
2
×
×
ˆ −1 + e
2 `
9 − 10 sin
2 b
´
+ e
4 sin
2 b
`
6 − 4 sin
2 b
´˜
,
a 22 (b) =
a cos b sin b
` −4 + e
2
`
3 + 2 sin
2 b
´ − e
4 sin
4 b
´
4
`
1 − e 2 sin
2 b
´ 5
2
,
a 50 (b) =
a e
2
`
1 − e
2
´
40 cos 2 b
`
1 − e 2 sin
2 b
´ 11
2
×
×[−4 + 8 sin
2 b + e
2 `
15 − 128 sin
2 b + 116 sin
4 b
´
+
+e
4 sin
2 b
`
180 − 362 sin
2 b + 164 sin
4 b
´
+ e
6 sin
4 b
`
120 − 136 sin
2 b + 27 sin
4 b
´
] ,
a 41 (b) =
−a
`
1 − e
2
´
24 cos b
`
1 − e 2 sin
2 b
´ 9
2
×
×[−1 + e
2 `
9 − 36 sin
2 b
´
+ e
4 sin
2 b
`
72 − 60 sin
2 b
´
+
+e
6 sin
4 b
`
24 − 8 sin
2 b
´
] ,
a 32 (b) =
a
12
`
1 − e 2 sin
2 b
´ 7
2
×
×[−4 + 8 sin
2 b + e
2 `
3 − 16 sin
2 b + 4 sin
4 b
´
+
+e
4 sin
2 b
`
12 − 10 sin
2 b + 4 sin
4 b
´ − e
6 sin
8 b] ,
a 23 (b) =
a cos b
12 (1 − e 2 )
`
1 − e 2 sin
2 b
´ 5
2
×
×[−5 + 18 sin
2 b + e
2 `
1 + 8 sin
2 b − 45 sin
4 b
´
+
+e
4 sin
2 b
`
2 − 15 sin
2 b + 46 sin
4 b
´
+ e
6 sin
6 b
`
6 − 16 sin
2 b
´
] .