540 D Korn–Lichtenstein and d’Alembert–Euler equations
Table D.2. E
2
a,b , the transverse Mercator projection, the series expansions x(l, b) and y(l, b) based upon
x(q) =
P ∞
r=0 a r q
r . Part one.
q(b) =
X
r 1 =1
c r 1 b
r 1 ,
q
2 (b) =
P
r 1 ,r 2
c r 1 c r 2 b
r 1 b
r 2 =
∞
P
r=2
(cc) r b
r ,
q
3 (b) =
P
r 1 ,r 2 ,r 3
c r 1 c r 2 c r 3 b
r 1 b
r 2 b
r 3 =
∞
P
r=3
(ccc) r b
r
etc.
a 10 (b) =
a
`
1 − e
2
´
`
1 − e 2 sin
2 b
´ 3
2
,
a 01 (b) =
a cos b
p
1 − e 2 sin
2 b
,
a 11 (b) =
−a
`
1 − e
2
´
sin b
`
1 − e 2 sin
2 b
´ 3
2
,
a 02 (b) =
a cos b sin b
2
p
1 − e 2 sin
2 b
,
a 03 (b) =
a cos b
`
1 − 2 sin
2 b + e
2 sin
4 b
´
6 (1 − e 2 )
p
1 − e 2 sin
2 b
,
a 12 (b) =
a
`
1 − 2 sin
2 b + e
2 sin
4 b
´
2
`
1 − e 2 sin
2 b
´ 3
2
,
a 13 (b) =
a sin b
6 (1 − e 2 )
`
1 − e 2 sin
2 b
´ 3
2
×
×
ˆ
−5 + 6 sin
2 b + e
2 `
1 + 6 sin
2 b − 9 sin
4 b
´
+ e
4 sin
4 b
` −3 + 4 sin
2 b
´˜
,
a 04 (b) =
a cos b sin b
24 (1 − e 2 )
2
p
1 − e 2 sin
2 b
×
×
ˆ
5 − 6 sin
2 b − e
2 `
1 + 6 sin
2 b − 9 sin
4 b
´
+ e
4 sin
4 b
`
3 − 4 sin
2 b
´˜
,
a 14 (b) =
a
24 (1 − e 2 )
2
`
1 − e 2 sin
2 b
´ 3
2
×
×[5 − 28 sin
2 b + 24 sin
4 b + e
2 ` −1 − 16 sin
2 b + 86 sin
4 b − 72 sin
6 b
´
+
+e
4 sin
4 b
`
26 − 100 sin
2 b + 77 sin
4 b
´
+ e
6 sin
6 b
`
−12 + 39 sin
2 b − 28 sin
4 b
´
] ,
a 05 (b) =
−a cos b
120 (1 − e 2 )
3
p
1 − e 2 sin
2 b
×
×[−5 + 28 sin
2 b − 24 sin
4 b + e
2 `
1 + 16 sin
2 b − 86 sin
4 b + 72 sin
6 b
´
+
+e
4 sin
4 b
`
−26 + 100 sin
2 b − 77 sin
4 b
´
+ e
6 sin
6 b
`
12 − 39 sin
2 b + 28 sin
4 b
´
] .