D-2 D’Alembert–Euler (Cauchy–Riemann) equations 539
C
orollary D
.6(
E
2
a,b , universal transverse Mercator projection modulo unk now n dilatation parameter,
c: c: cha–cha–cha) .
The solution of the boundary value problem, where the L 0 meta-equator is modulo a dilatation
parameter equidistantly mapped, is given by (D.80), (D.81), and the a r of Tables D.2 and D.3.
x(l, b) =
a 0 + a 10 b + a 20 b
2 + a 02 l
2 + a 30 b
3 + a 12 bl
2 + a 40 b
4 +
+a 22 b
2 l
2 + a 04 l
4 + a 50 b
5 + a 32 b
3 l
2 + a 14 bl
4 + o x (b
6 , l
6 )
,
(D.80)
y(l, b) =
a 01 l + a 11 bl + a 21 b
2 l + a 03 l
3 + a 31 b
3 l + a 13 bl
3 +
+a 41 b
4 l + a 23 b
2 l
3 + a 05 l
5 + o y (b
6 , l
6 )
.
(D.81)
End ofC orollary.
Table D.1. E
2
a,b , the transverse Mercator projection, the series expansion q(b) =
P N
r=1 c r b
r for B = B 0 , the
coefficients c r are given up to N = 5, up to N = 10 available from the author.
c 1 = Q
(B) =
1 − e
2
cos B
`
1 − e 2 sin
2 B
´ ,
c 2 =
1
2!
Q
(B) =
sin B
ˆ
1 + e
2
`
1 − 3 sin
2 B
´
+ e
4
` −2 + 3 sin
2 B
´˜
2 cos 2 B
`
1 − e 2 sin
2 B
´ 2
,
c 3 =
1
3!
Q
(B) =
1
6 cos 3 B
`
1 − e 2 sin
2 B
´ 3 [1 + sin
2 B − e
2 `
−1 + 5 sin
2 B + 2 sin
4 B
´ −
−e
4 `
2 − 10 sin
2 B + 11 sin
4 B − 9 sin
6 B
´ − e
6 sin
2 B
`
6 − 13 sin
2 B + 9 sin
4 B
´
] ,
c 4 =
1
4!
Q
IV (B) =
sin B
24 cos 4 B
`
1 − e 2 sin
2 B
´ 4 ×
×[5 + sin
2 B + e
2 `
−1 − 18 sin
2 B − 5 sin
4 B
´
+ e
4 `
20 − 63 sin
2 B + 96 sin
4 B − 17 sin
6 B
´
+
+e
6 ` −24 + 104 sin
2 B − 159 sin
4 B + 82 sin
6 B − 27 sin
8 B
´
+
+e
8 sin
2 B
`
−24 + 68 sin
2 B − 65 sin
4 B + 27 sin
6 B
´
] ,
c 5 =
1
5!
Q
V (B) =
1
120 cos 5 B
`
1 − e 2 sin
2 B
´ 5 ×
×[5 + 18 sin
2 B + sin
4 B − e
2 `
1 + 22 sin
2 B + 93 sin
4 B + 4 sin
6 B
´ −
−e
4 ` −20 + 136 sin
2 B − 338 sin
4 B + 68 sin
6 B − 86 sin
8 B
´ −
−e
6 `
24 − 380 sin
2 B + 1226 sin
4 B − 1588 sin
6 B + 1178 sin
8 B − 220 sin
10 B
´ −
−e
8 sin
2 B
`
240 − 1100 sin
2 B + 1936 sin
4 B − 1633 sin
6 B + 518 sin
8 B − 81 sin
10 B
´ −
−e
10 sin
4 B
`
120 − 420 sin
2 B + 541 sin
4 B − 298 sin
6 B + 81 sin
8 B
´
] .