368 16 “Ellipsoid-of-revolution to cylinder”: oblique aspect
Proof.
x
3
= z
= 0
⇒
tan L =
x
2
x 1 =
x
1
sin Ω + x
2
cos Ω sin i
x 1 cos Ω − x 2 sin Ω cos i
=
A
1 cos α sin Ω + A
2 sin α cos Ω cos i
A
1 cos α cos Ω − A
2 sin α sin Ω cos i
⇒
(A
1 cos α cos Ω − A
2 sin α sin Ω cos i) sin L = (A
1 cos α sin Ω + A
2 sin α cos Ω cos i) cos L
⇒
A
1 cos α(cos Ω sin L − sin Ω cos L) = A
2 sin α cos i(cos Ω cos L + sin Ω sin L)
⇒
A
1 cos α sin(L − Ω) = A
2 sin α cos i cos(L − Ω)
⇒
tan(L − Ω) =
A
2
A
1
cos i tan α =
1 − E 2 cos i tan α .
(16.40)
End of Proof.
Proof.
x
3
= z
= 0
⇒
tan B =
1
1 − E 2
x
3
(x 1 ) 2 + (x 2 ) 2
=
=
1
1 − E 2
x
2
sin i
x
1
cos Ω − x
2
sin Ω cos i
2 +
x
1
sin Ω + x
2
cos Ω cos i
2 −1/2 ,
(16.41)
(x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 cos i =
A
1
2 cos 2 α + A
2
2 sin
2 α cos i ,
x
2
sin i = A
2 E sin α sin i
⇒
tan B =
A
2 sin i
(1 − E 2 )
sin α
A
1
2 cos 2 α + A
2
2 cos 2 i sin
2 α
.
(16.42)
End of Proof.