352 15 “Ellipsoid-of-revolution to cylinder”: transverse aspect
In general:
x 2 = x 1 + ρ
s 00 + s 10
x 1
ρ
+ s 01
y 1
ρ
− y 0
+ s 20
x 1
ρ
2
+
+s 11
x 1
ρ
y 1
ρ
− y 0
+ s 02
y 1
ρ
− y 0
2
+ O 3s
,
(15.123)
y 2 = y 1 + ρ
t 00 + t 10
x 1
ρ
+ t 01
y 1
ρ
− y 0
+ t 20
x 1
ρ
2
+
+t 11
x 1
ρ
y 1
ρ
− y 0
+ t 02
y 1
ρ
− y 0
2
+ O 3t
.
(15.124)
The coefficients {s ij , t ij } are collected in Box 15.12 and are computed by MATHEMATICA up to order
five as a polynomial in terms of L 01 −L 02 . Fig. 15.19 outlines the transformation steps of various orders.
It should be noted that the explicit formula manipulation of the coefficients {s ij , t ij } in Box 15.12 was
restricted by the postulate x 1 = x 2 and y 1 = y 2 if L 01 − L 02 = 0 holds!
Box 15.12 (Conformal polynomial {x 2 = X(x 1 , y 1 ), y 2 = Y (x 1 , y 1 )}, coefficients {s ij , t ij }).
s 00 =
A 1 (L 01 − L 02 ) cos B 0
(1 − E 2 sin
2 B 0 ) 1/2 +
A 1 (L 01 − L 02 )
3 cos B 0 (1 − 2 sin
2 B 0 + E
2 sin
4 B 0 )
6(1 − E 2 )(1 − E 2 sin
2 B 0 ) 1/2
+
+A 1 (L 01 − L 02 )
5 cos B 0
»
5 − E
2 − 28 sin
2 B 0 − 16E
2 sin
2 B 0 + 24 sin
4 B 0 + 86E
2 sin
4 B 0 +
+26E
4 sin
4 B 0 − 72E
2 sin
6 B 0 − 100E
4 sin
6 B 0 − 12E
6 sin
6 B 0 + 77E
4 sin
8 B 0 + 39E
6 sin
8 B 0 −
−28E
6 sin
10 B 0
–»
120(1 − E
2 )
3 (1 − E
2 sin
2 B 0 )
1/2
– −1
,
s 10 =
(L 01 − L 02 )
2 (1 − 2 sin
2 B 0 + E
2 sin
4 B 0 )
2(1 − E 2 )
+
+(L 01 − L 02 )
4
»
5 − E
2 − 28 sin
2 B 0 − 16E
2 sin
2 B 0 + 24 sin
4 B 0 + 86E
2 sin
4 B 0 +
+26E
4 sin
4 B 0 − 72E
2 sin
6 B 0 − 100E
4 sin
6 B 0 − 12E
6 sin
6 B 0 + 77E
4 sin
8 B 0 + 39E
6 sin
8 B 0 −
−28E
6 sin
10 B 0
–»
24(1 − E
2 )
3
– −1
,
s 01 = −(L 01 − L 02 ) sin B 0 −
−(L 01 − L 02 )
3 sin B 0
»
5 − E
2 − 6 sin
2 B 0 − 6E
2 sin
2 B 0 + 9E
2 sin
4 B 0 +
+3E
4 sin
4 B 0 − 4E
4 sin
6 B 0
–»
6(1 − E
2 )
2
– −1
,
s 20 =
(L 01 − L 02 ) cos B 0 (1 − E
2 sin
2 B 0 )
3/2
2A 1 (1 − E 2 )
+
+(L 01 − L 02 )
3 cos B 0 (1 − E
2 sin
2 B 0 )
3/2
»
5 − E
2 − 18 sin
2 B 0 − 18E
2 sin
2 B 0 + 45E
2 sin
4 B 0 +
+15E
4 sin
4 B 0 − 28E
4 sin
6 B 0
–»
12A 1 (1 − E
2 )
3
– −1
,
s 11 = −
2(L 01 − L 02 )
2 cos B 0 sin B 0 (1 − E
2 sin
2 B 0 )
5/2
A 1 (1 − E 2 ) 2
+
+(L 01 − L 02 )
4 tan B 0 (1 − E
2 sin
2 B 0 )
1/2
»
5 − E
2 − 28 sin
2 B 0 − 16E
2 sin
2 B 0 + 24 sin
4 B 0 +
+86E
2 sin
4 B 0 + 26E
4 sin
4 B 0 − 72E
2 sin
6 B 0 − 100E
4 sin
6 B 0 − 12E
6 sin
6 B 0 +
+77E
4 sin
8 B 0 + 39E
6 sin
8 B 0 − 28E
6 sin
10 B 0
–»
24A 1 (1 − E
2 )
3
– −1
,
(15.125)