9-1 General mapping equations “ellipsoid-of-revolution to plane” 259
Box 9.1 (The surface normal vector G 3 , the surface tangent vectors G 1 and G 2 ).
G 3 =
G 1 ×G 2
G 1 ×G 2
= cos Φ cos ΛE 1 + cos Φ sin ΛE 2 + sin ΦE 3 ,
(9.10)
∂
2 X
∂U K ∂U L =
∂
∂U L G K (U
1 , U
2 ) ,
p
det [G KL ] =
A
2
1 (1 − E
2 ) cos Φ
(1 − E 2 sin
2 Φ) 2 ,
(9.11)
∂G 1
∂U 1 =
3
X
J=1
∂
2 X
J
∂Λ
2 E J = −
A 1 cos Φ
(1 − E 2 sin
2 Φ) 1/2
`
cos Λ E 1 + sin Λ E 2
´
,
∂G 1
∂U 2 =
3
X
J=1
∂
2 X
J
∂Λ∂Φ
E J =
A 1 (1 − E
2 )
(1 − E 2 sin
2 Φ) 3/2
`
sin Φ sin Λ E 1 − sin Φ cos Λ E 2
´
(9.12)
versus
∂G 2
∂U 1 =
3
X
J=1
∂
2 X
J
∂Φ∂Λ
E J =
3
X
J=1
∂
2 X
J
∂Λ∂Φ
E J ,
∂G 2
∂U 2 =
3
X
J=1
∂
2 X
J
∂Φ
2 E J =
A 1 (1 − E
2 )
(1 − E 2 sin
2 Φ) 5/2 ×
×
»
− cos Φ cos Λ(1 + 2E
2 sin
2 Φ)E 1 − cos Φ sin Λ(1 + 2E
2 sin
2 Φ)E 2 −
− sin Φ(1 + 2E
2 sin
2 Φ − 3E
2 )E 3
–
= −
A 1 (1 − E
2 )(1 + 2E
2 sin
2 Φ)
(1 − E 2 sin
2 Φ) 5/2
»
cos Φ cos Λ E 1 + cos Φ sin Λ E 2 +
„
1 −
3E
2
1 + 2E 2 sin
2 Φ
«
sin Φ E 3
–
.
(9.13)
Box 9.2 (The matrix H KL ).
H 11 =
˙
G 3 ∂G 1 /∂U
1 ¸
= G 3 ∂G Λ /∂Λ = −
A 1 cos
2 Φ
(1 − E 2 sin
2 Φ) 1/2 ,
H 12 =
˙
G 3 ∂G 1 /∂U
2 ¸
= G 3 ∂G Λ /∂Φ =
=
A 1 (1 − E
2 )
(1 − E 2 sin
2 Φ) 3/2
`
sin Φ cos Φ sin Λ cos Λ − sin Φ cos Φ sin Λ cos Λ
´
= 0 ,
H 22 =
˙
G 3 ∂G 2 /∂U
2 ¸
= G 3 ∂G Φ /∂Φ =
= −
A 1 (1 − E
2 )(1 + 2E
2 sin
2 Φ)
(1 − E 2 sin
2 Φ) 5/2
„
cos
2 Φ + sin
2 Φ
1 + 2E
2 sin
2 Φ − 3E
2
1 + 2E 2 sin
2 Φ
«
=
= −
A 1 (1 − E
2 )
(1 − E 2 sin
2 Φ) 5/2 (cos
2 Φ + 2E
2 sin
2 Φ cos
2 Φ + sin
2 Φ + 2E
2 sin
4 Φ − 3E
2 sin
2 Φ)
= −
A 1 (1 − E
2 )
(1 − E 2 sin
2 Φ) 5/2
ˆ
1 − E
2 `
3 sin
2 Φ − 2 sin
2 Φ cos
2 Φ − 2 sin
4 Φ
´˜
=
= −
A 1 (1 − E
2 )
(1 − E 2 sin
2 Φ) 5/2
ˆ
1 − E
2 `
3 sin
2 Φ − 2 sin
2 Φ cos
2 Φ − 2 sin
2 Φ + 2 sin
2 Φ cos
2 Φ
´˜
=
= −
A 1 (1 − E
2 )
(1 − E 2 sin
2 Φ) 5/2 (1 − E
2 sin
2 Φ) = −
A 1 (1 − E
2 )
(1 − E 2 sin
2 Φ) 3/2 .
(9.14)